Мастерская по покраске кузовов автомобилей рассчитана на покраску не более 160 кузовов в месяц. На покраску кузова "Москвича" краски расходуется 4 кг, а кузова "Волги" - 7 кг. Мастерская располагает 820 кг краски на месяц. Составить месячный план покраски

Для решения данной задачи мы можем использовать метод линейного программирования. Давайте обозначим: - \( x \) — количество покрашенных ку...

1. Ограничение по количеству кузовов: \[ x + y \leq 160 \] 2. Ограничение по количеству краски: \[ 4x + 7y \leq 820 \] 3. Неотрицательность: \[ x \geq 0, \quad y \geq 0 \] Целевая функция, которую мы хотим максимизировать, это прибыль: \[ P = 30x + 40y \] Теперь мы можем построить график ограничений и целевой функции. 1. Для ограничения \( x + y \leq 160 \): - Если \( x = 0 \), то \( y = 160 \). - Если \( y = 0 \), то \( x = 160 \). 2. Для ограничения \( 4x + 7y \leq 820 \): - Если \( x = 0 \), то \( y = \frac{820}{7} \approx 117.14 \). - Если \( y = 0 \), то \( x = \frac{820}{4} = 205 \). Теперь найдем точку пересечения двух линий: 1. \( x + y = 160 \) 2. \( 4x + 7y = 820 \) Подставим \( y = 160 - x \) в уравнение \( 4x + 7y = 820 \): \[ 4x + 7(160 - x) = 820 \] \[ 4x + 1120 - 7x = 820 \] \[ -3x + 1120 = 820 \] \[ -3x = 820 - 1120 \] \[ -3x = -300 \] \[ x = 100 \] Теперь подставим \( x = 100 \) в \( y = 160 - x \): \[ y = 160 - 100 = 60 \] Таким образом, точка пересечения: \( (100, 60) \). Теперь нам нужно вычислить прибыль в угловых точках: 1. \( (0, 0) \): \[ P = 30(0) + 40(0) = 0 \] 2. \( (0, 117.14) \): \[ P = 30(0) + 40(117.14) \approx 4685.6 \] 3. \( (160, 0) \): \[ P = 30(160) + 40(0) = 4800 \] 4. \( (100, 60) \): \[ P = 30(100) + 40(60) = 3000 + 2400 = 5400 \] Сравнив все значения прибыли, мы видим, что максимальная прибыль достигается в точке \( (100, 60) \): \[ P = 5400 \] Таким образом, месячный план покраски автомобилей, максимизирующий прибыль мастерской, состоит в том, чтобы покрасить 100 кузовов Москвич и 60 кузовов Волга.