Решить задачу геометрическим методом 1. Предприятие имеет возможность приобрести не более 12 трехтон- ных автомашин и не более 13 нятитонных. Цена трехтонного грузовика - 5 ден. ед., а пятитонного - 7 ден. ед. Для приобретения автомашин выделено 105 ден.

Для решения задачи будем использовать геометрический метод, который включает в себя построение графиков и нахождение оптимального решения.

Шаг 1: ...

Обозначим:

• $x$ — количество трехтонных автомашин (максимум 12),
• $y$ — количество пятитонных автомашин (максимум 13).

У нас есть следующие ограничения:

1. Ограничение по количеству трехтонных машин: $x \leq 12$
2. Ограничение по количеству пятитонных машин: $y \leq 13$
3. Ограничение по бюджету: $5x + 7y \leq 105$

Наша цель — максимизировать суммарную грузоподъемность:

$$Z = 3x + 5y$$

Теперь мы можем построить график ограничений.

1. :

   $$5x + 7y = 105$$
   Найдем пересечения с осями:
   • Если $x = 0$: $7y = 105$ → $y = 15$ (но ограничение $y \leq 13$).
   • Если $y = 0$: $5x = 105$ → $x = 21$ (но ограничение $x \leq 12$).

   Таким образом, точка пересечения с осью $y$ будет $(0, 13)$, а с осью $x$ — $(12, 0)$.

2. :

   • Вертикальная линия $x = 12$
   • Горизонтальная линия $y = 13$

Теперь мы можем определить область допустимых решений, которая ограничена:

• Линией бюджета $5x + 7y = 105$,
• Вертикальной линией $x = 12$,
• Горизонтальной линией $y = 13$.

Найдём угловые точки области допустимых решений:

1. Пересечение $x = 12$ и $y = 0$: точка $(12, 0)$.

2. Пересечение $x = 0$ и $y = 13$: точка $(0, 13)$.

3. Пересечение $5x + 7y = 105$ и $x = 12$:

   $$5(12) + 7y = 105 \implies 60 + 7y = 105 \implies 7y = 45 \implies y = \frac{45}{7} \approx 6.43$$
   Точка $(12, 6.43)$.

4. Пересечение $5x + 7y = 105$ и $y = 13$:

   $$5x + 7(13) = 105 \implies 5x + 91 = 105 \implies 5x = 14 \implies x = \frac{14}{5} = 2.8$$
   Точка $(2.8, 13)$.

Теперь вычислим целевую функцию $Z = 3x + 5y$ в этих точках:

1. В точке $(12, 0)$:
   $$Z = 3(12) + 5(0) = 36$$
2. В точке $(0, 13)$:
   $$Z = 3(0) + 5(13) = 65$$
3. В точке $(12, 6.43)$:
   $$Z = 3(12) + 5(6.43) = 36 + 32.15 = 68.15$$
4. В точке $(2.8, 13)$:
   $$Z = 3(2.8) + 5(13) = 8.4 + 65 = 73.4$$

Наибольшее значение целевой функции $Z$ достигается в точке $(2.8, 13)$. Однако, так как количество машин должно быть целым, мы можем рассмотреть целые значения:

• $x = 2$, $y = 13$ → $Z = 3(2) + 5(13) = 6 + 65 = 71$
• $x = 3$, $y = 12$ → $Z = 3(3) + 5(12) = 9 + 60 = 69$

Таким образом, оптимальное решение — приобрести 2 трехтонные машины и 13 пятитонных машин, что даст максимальную грузоподъемность 71.