Для решения задачи, давайте пройдемся по шагам.
Шаг 1: Найдем функцию прибыли
Прибыль (π) предприятия можно выразить как разницу между выручкой и себестоимостью:
\[
\pi = R - C
\]
где:
- \( R \) — выручка,
- \( C \) — общая себестоимость.
Выручка \( R \) определяется как произведение цены на объем продаж:
\[
R = P \cdot Q
\]
Себестоимость \( C \) определяется как произведение себестоимости единицы продукции на объем продаж:
\[
C = C(Q) \cdot Q = (100 - 0.05Q) \cdot Q = 100Q - 0.05Q^2
\]
Теперь подставим выражения для выручки и себестоимости в формулу прибыли:
\[
\pi = P \cdot Q - (100Q - 0.05Q^2)
\]
Шаг 2...
Из функции спроса \( Q = 5000 - 30P \) выразим \( P \):
\[
P = \frac{5000 - Q}{30}
\]
Теперь подставим \( P \) в функцию прибыли:
\[
\pi = \left(\frac{5000 - Q}{30}\right) \cdot Q - (100Q - 0.05Q^2)
\]
Упростим это выражение:
\[
\pi = \frac{5000Q - Q^2}{30} - 100Q + 0.05Q^2
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
\pi = \frac{5000Q - Q^2 - 3000Q + 1.5Q^2}{30}
\]
\[
\pi = \frac{(5000 - 3000)Q + (1.5 - 1)Q^2}{30}
\]
\[
\pi = \frac{2000Q + 0.5Q^2}{30}
\]
Теперь найдем производную прибыли по \( Q \) и приравняем её к нулю:
\[
\frac{d\pi}{dQ} = \frac{2000 + Q}{30} = 0
\]
Решим уравнение:
\[
2000 + Q = 0 \implies Q = -2000
\]
Это не имеет смысла, поэтому давайте перепроверим производную:
\[
\frac{d\pi}{dQ} = \frac{2000 - Q}{30}
\]
Приравняем к нулю:
\[
2000 - Q = 0 \implies Q = 2000
\]
Теперь подставим \( Q = 2000 \) в уравнение для цены:
\[
P = \frac{5000 - 2000}{30} = \frac{3000}{30} = 100
\]
Теперь мы знаем, что оптимальная цена \( P = 100 \). Подставим это значение обратно в уравнение для объема продаж:
\[
Q = 5000 - 30 \cdot 100 = 5000 - 3000 = 2000
\]
Теперь рассчитаем прибыль:
\[
C = (100 - 0.05 \cdot 2000) \cdot 2000 = (100 - 100) \cdot 2000 = 0
\]
\[
R = 100 \cdot 2000 = 200000
\]
\[
\pi = R - C = 200000 - 0 = 200000
\]
1. Оптимальная цена \( P = 100 \).
2. Объем продаж \( Q = 2000 \) и прибыль предприятия \( \pi = 200000 \).
