Предприятие выпускает продукцию, себестоимость которой зависит от объема производства: C=100−0.05Q где C – себестоимость единицы продукции, Q – объем производства. Функция спроса на продукцию: Q=5000−30P 1. Найдите оптимальную цену P, при которой прибыль

Для решения задачи, давайте пройдемся по шагам.

Шаг 1: Найдем функцию прибыли

Прибыль (π) предприятия можно выразить как разницу между выручкой и себестоимостью:

$
\pi = R - C
$

где:
- $R$ — выручка,
- $C$ — общая себестоимость.

Выручка $R$ определяется как произведение цены на объем продаж:

$
R = P \cdot Q
$

Себестоимость $C$ определяется как произведение себестоимости единицы продукции на объем продаж:

$
C = C(Q) \cdot Q = (100 - 0.05Q) \cdot Q = 100Q - 0.05Q^2
$

Теперь подставим выражения для выручки и себестоимости в формулу прибыли:

$
\pi = P \cdot Q - (100Q - 0.05Q^2)
$

Шаг 2...

Из функции спроса $Q = 5000 - 30P$ выразим $P$:

$$P = \frac{5000 - Q}{30}$$

Теперь подставим $P$ в функцию прибыли:

$$\pi = \left(\frac{5000 - Q}{30}\right) \cdot Q - (100Q - 0.05Q^2)$$

Упростим это выражение:

$$\pi = \frac{5000Q - Q^2}{30} - 100Q + 0.05Q^2$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\pi = \frac{5000Q - Q^2 - 3000Q + 1.5Q^2}{30}$$

$$\pi = \frac{(5000 - 3000)Q + (1.5 - 1)Q^2}{30}$$

$$\pi = \frac{2000Q + 0.5Q^2}{30}$$

Теперь найдем производную прибыли по $Q$ и приравняем её к нулю:

$$\frac{d\pi}{dQ} = \frac{2000 + Q}{30} = 0$$

Решим уравнение:

$$2000 + Q = 0 \implies Q = -2000$$

Это не имеет смысла, поэтому давайте перепроверим производную:

$$\frac{d\pi}{dQ} = \frac{2000 - Q}{30}$$

Приравняем к нулю:

$$2000 - Q = 0 \implies Q = 2000$$

Теперь подставим $Q = 2000$ в уравнение для цены:

$$P = \frac{5000 - 2000}{30} = \frac{3000}{30} = 100$$

Теперь мы знаем, что оптимальная цена $P = 100$. Подставим это значение обратно в уравнение для объема продаж:

$$Q = 5000 - 30 \cdot 100 = 5000 - 3000 = 2000$$

Теперь рассчитаем прибыль:

$$C = (100 - 0.05 \cdot 2000) \cdot 2000 = (100 - 100) \cdot 2000 = 0$$

$$R = 100 \cdot 2000 = 200000$$

$$\pi = R - C = 200000 - 0 = 200000$$

1. Оптимальная цена $P = 100$.
2. Объем продаж $Q = 2000$ и прибыль предприятия $\pi = 200000$.