Производственная функция однопроизводственной фирмы задана соотношением Q = Q(K,L). Известны цены на ресурсы Pₖ и Pₗ д. ед. Вычислить оптимальный объем выпуска продукции, если издержки фирмы равны C₀ д.ед.

Дано:

• Производственная функция: $Q(K, L) = 15KL^{1/2}$
• Цена капитала: $P_K = 4$
• Цена труда: $P_L = 6$
• Бюджетное ограничение (издержки): $C_0 = 84$

Найти:

• Оптимальный объем выпуска $Q^*$.

Решение:

Шаг 1: Запишем бюджетное ограничение. Издержки фирмы складываются из затрат на капитал и труд:

Шаг 2: Составим функцию Лагранжа.

Шаг 3: Найдем частные производные и приравняем их к нулю.

1. $\frac{\partial L}{\partial K} = 15L^{1/2} - 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{15L^{1/2}}{4}$
2. $\frac{\partial L}{\partial L} = 15K \cdot \frac{1}{2}L^{-1/2} - 6\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{7.5K}{6L^{1/2}}$
3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 84 - 4K - 6L = 0$

**...