Предпочтения описываются функцией полезности Кобба-Дугласа и . Напишите задачу максимизации полезности и выведите функцию спроса . Для функции спроса, полученной в (a), проверьте следующие свойства: (1) Однородность нулевой степени по , для любых и

(a) Задача максимизации полезности для функции Кобба-Дугласа выглядит следующим образом:

Максимизировать $u(x_{1}, x_{2}) = k x_{1}^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha}$ при условии бюджетного ограничения $p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} \leq w$, где $p_{1}$ и $p_{2}$ - цены товаров, а $w$ - доход.

Для решения этой задачи используем метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:

$\mathcal{L} = k x_{1}^{\alpha} x_{2}^{1-\alpha} + \lambda (w - p_{1} x_{1} - p_{2} x_{2})$

Теперь найдем частные производные и приравняем их к нулю:

1. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}} = k \alpha x_{1}^{\alpha - 1} x_{2}^{1 - \alpha} - \lambda p_{1} = 0$...