Задача 4 Рассмотрим задачу агрегирования общественных предпочтений в случае двух альтернатив и N агентов. Сколько существует различных функций общественного выбора, удовлетворяющих условиям: (а) анонимности? (b) нейтральности к альтернативам? (c) (*)

Для решения задачи о количестве различных функций общественного выбора, удовле...

Анонимность означает, что функция общественного выбора не зависит от идентичности агентов. То есть, если два агента поменяются местами, результат голосования не изменится.

Для двух альтернатив (например, A и B) и N агентов, каждый агент может выбрать одну из двух альтернатив. Таким образом, общее количество возможных голосований (распределений голосов) можно выразить как количество способов, которыми N агентов могут выбрать между двумя альтернативами. Это равно (2^N).

Однако, поскольку функция общественного выбора должна быть анонимной, мы должны учитывать только уникальные распределения голосов. Например, если 3 агента выбирают A и 2 выбирают B, это будет одно и то же распределение, что и 2 агента выбирают A и 3 выбирают B.

Таким образом, мы можем использовать биномиальные коэффициенты для подсчета уникальных распределений голосов. Количество различных функций общественного выбора, удовлетворяющих анонимности, будет равно количеству способов выбрать количество голосов за A (от 0 до N), что можно выразить как (N + 1) (от 0 до N).

Нейтральность к альтернативам означает, что функция общественного выбора должна быть симметричной относительно альтернатив. То есть, если мы поменяем местами альтернативы A и B, то результат должен остаться тем же, только с заменой A на B и наоборот.

Это условие уже подразумевает анонимность, так как мы не можем различать агентов. Однако, теперь мы должны учитывать, что функция должна давать одинаковый результат для альтернатив A и B.

Таким образом, количество различных функций общественного выбора, удовлетворяющих нейтральности к альтернативам, будет равно количеству уникальных распределений голосов, деленных на 2 (поскольку мы можем поменять A и B). Это будет равно (N + 1) (количество голосов за A) и делим на 2, что дает (\frac{N + 1}{2}).

Положительная отзывчивость означает, что если один агент изменяет свой голос в пользу альтернативы A, то результат голосования не может измениться в пользу альтернативы B. Это условие требует, чтобы функция общественного выбора была чувствительна к изменениям в голосах.

Это условие значительно усложняет ситуацию. Для двух альтернатив и N агентов, если мы хотим, чтобы функция общественного выбора была положительно отзывчивой, то она должна учитывать все возможные изменения в голосах.

Количество функций общественного выбора, удовлетворяющих положительной отзывчивости, будет зависеть от того, как мы можем организовать результаты голосования, чтобы они оставались согласованными с изменениями в голосах. Это может быть сложным для точного подсчета, но в общем случае, если мы предполагаем, что функция должна быть строго монотонной, то количество таких функций будет меньше, чем в предыдущих случаях.

Таким образом, мы можем подвести итог:

(a) Количество функций общественного выбора, удовлетворяющих анонимности: (N + 1).

(b) Количество функций общественного выбора, удовлетворяющих нейтральности к альтернативам: (\frac{N + 1}{2}).

(c) Количество функций общественного выбора, удовлетворяющих положительной отзывчивости: это сложнее подсчитать, но оно будет меньше, чем в случае (b), и зависит от конкретной структуры голосования.