Цепь состоит из трех параллельных ветвей и питается от сети с синусоидальным напряжениемu=U{m} sin ω tДля цепи с параметрамиR=10Om,x{C}=18Om,xL=13Оm Ом необходимо определить все токи, активную, реактивную и полную мошность, построить векторную диаграмму.

Для решения задачи, давайте разберем все шаги по порядку.

Шаг 1: Определение импедансов ветвей

У нас есть три ветви: одна с резистором $R$, одна с ёмкостным реактивным сопротивлением $xC$ и одна с индуктивным реактивным сопротивлением $xL$.

1. Импеданс резистивной ветви:
$
Z_R = R = 10 \, \Omega
$

2. Импеданс ёмкостной в...: $ ZC = -j 18 \, \Omega $

3. :
   $$ZL = j 13 \, \Omega$$

Для параллельных ветвей общий импеданс $Z_{total}$ можно найти по формуле:

$$\frac{1}{ZR} + \frac{1}{ZL}$$

Подставим значения:

$$\frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-j 18} + \frac{1}{j 13}$$

Переведем в общий знаменатель:

$$\frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{10} + \frac{j}{18} - \frac{j}{13}$$

Теперь найдем общий знаменатель для дробей:

$$\frac{1}{Z_{total}} = \frac{1}{10} + \frac{13j - 18j}{234} = \frac{1}{10} - \frac{5j}{234}$$

Теперь преобразуем $\frac{1}{10}$ к общему знаменателю:

$$\frac{1}{Z_{total}} = \frac{23.4 - 5j}{234}$$

Теперь найдем $Z_{total}$:

$$Z_{total} = \frac{234}{23.4 - 5j}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное:

$$Z_{total} = \frac{234(23.4 + 5j)}{(23.4)^2 + (5)^2}$$

$$= \frac{234(23.4 + 5j)}{552.76 + 25} = \frac{234(23.4 + 5j)}{577.76}$$

Теперь, зная общее напряжение $U = 110 \, V$, можем найти токи в каждой ветви:

1. :

   IR} = \frac{110}{10} = 11 \, A

2. :

   IC} = \frac{110}{-j 18} = -\frac{110j}{18} \approx -6.11j \, A

3. :

   IL} = \frac{110}{j 13} = \frac{110}{13j} \approx 8.46j \, A

4. :

   $$P = U \cdot I_R = 110 \cdot 11 = 1210 \, W$$

5. : Реактивная мощность для ёмкостной и индуктивной ветвей:

   $$QC = 110 \cdot (-6.11j) = -672.1 \, VAR$$
   $$QL = 110 \cdot (8.46j) = 931.6 \, VAR$$
   Общая реактивная мощность:
   $$QL + Q_C = 931.6 - 672.1 = 259.5 \, VAR$$

6. :

   $$S = P + jQ = 1210 + j259.5 \, VA$$

На векторной диаграмме:

• Вектор активной мощности $P$ направлен вправо.

• Вектор реактивной мощности $Q$ направлен вверх (индуктивная) и вниз (ёмкостная).

• Полная мощность $S$ будет находиться в квадранте, образованном этими двумя векторами.

• Токи:

  • $I_R = 11 \, A$
  • $I_C \approx -6.11j \, A$
  • $I_L \approx 8.46j \, A$

• Активная мощность $P = 1210 \, W$

• Реактивная мощность $Q_{total} \approx 259.5 \, VAR$

• Полная мощность $S = 1210 + j259.5 \, VA$

Построение векторной диаграммы можно выполнить на графике, где векторы $P$ и $Q$ будут изображены соответственно.