(16) Дано: egin{array}{l} E=120 ~B \ R=80 Om \ R1=20 OM \ R2=80 Om \ ~L=100 M Γ H end{array}Найти закон изменения тока, операторным методомi1

Для решения задачи о нахождении закона изменения тока $i_1$ в цепи с использованием операторного метода, начнем с анализа данных и применения закона Ома и закона Кирхгофа.

Шаг 1...

Имеем:

• ЭДС $E = 120 \, \text{B}$
• Сопротивления $R = 80 \, \Omega$, $R2 = 80 \, \Omega$
• Индуктивность $L = 100 \, \text{mH} = 0.1 \, \text{H}$

Сначала определим общее сопротивление цепи. В данной цепи сопротивления $R2$ соединены последовательно, а затем это соединение параллельно с $R$.

Общее сопротивление $R_{eq}$ можно найти следующим образом:

1. Сначала найдем эквивалентное сопротивление $R1$ и $R_2$:

   $$R1 + R_2 = 20 \, \Omega + 80 \, \Omega = 100 \, \Omega$$

2. Теперь найдем общее сопротивление $R_{eq}$ для цепи:

   $$\frac{1}{R{12}} = \frac{1}{80 \, \Omega} + \frac{1}{100 \, \Omega}$$
   Приведем к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{100 + 80}{8000} = \frac{180}{8000} = \frac{9}{400}$$
   Следовательно,
   $$R_{eq} = \frac{400}{9} \, \Omega \approx 44.44 \, \Omega$$

По закону Ома:

$$E = I \cdot R_{eq} + L \frac{di}{dt}$$

где $I$ — это ток в цепи.

Запишем уравнение в операторной форме. Обозначим оператор дифференцирования как $D$:

$$E = I R_{eq} + L D I$$

Подставим известные значения:

$$120 = I \cdot \frac{400}{9} + 0.1 D I$$

Перепишем уравнение:

$$0.1 D I + \frac{400}{9} I = 120$$

Умножим на 10 для удобства:

$$D I + \frac{4000}{9} I = 1200$$

Запишем характеристическое уравнение:

$$D + \frac{4000}{9} = 0$$

Корень этого уравнения:

$$D = -\frac{4000}{9}$$

Общее решение уравнения имеет вид:

$$I(t) = C e^{-\frac{4000}{9} t} + I_{p}$$

где $I{p}$ подставим $D I = 0$:

$$\frac{4000}{9} I{p} = \frac{1200 \cdot 9}{4000} = \frac{10800}{4000} = 2.7 \, A$$

Таким образом, полное решение будет:

$$I(t) = C e^{-\frac{4000}{9} t} + 2.7$$

Если начальный ток $I(0) = 0$, то:

$$0 = C + 2.7 \Rightarrow C = -2.7$$

Итак, закон изменения тока $i_1(t)$ будет:

$$i_1(t) = -2.7 e^{-\frac{4000}{9} t} + 2.7$$

Это и есть искомый закон изменения тока в цепи.