Катушка, имеющая w = 1000 витков, намотана на стальной магнитопровод, кривая намагничивания которого может быть аппроксимирована полиномом Н = 100В + 200 В^3, где напряженность магнитного поля Н в [А/м], магнитная индукция В в [Тл]. Сечение магнитопровода

Наша задача – найти мгновенное значение тока i(t) и его действующее (среднеквадратичное) значение в катушке с w = 1000 витков, намотанной на стальной сердечник, у которого зависимость H от B задана уравнением

  H = 100·B + 200·B³ (при B в Тл, H в А/м).

Параметры сердечника: сечение S = 10^(–3) м², средняя длина магнитной линии l = 0,2 м. Катушка подключена к источнику переменного напряжения

  u(t) = 200 cos(ωt), где f = 50 Гц (ω = 2πf = 100π рад/с).

Нам нужно найти i(t) и i_эфф.

Рассмотрим шаг за шагом.

————————————————————————————
Шаг 1. Выражение через магнитную индукцию

При отсутствии потерь напряжение в катушке определяется изменением магнитного потока φ:
  u(t) = N dφ/dt.
Так как потока φ = B·S (при равномерном распределении индукции в сечении сердечника), имеем:
  u(t) = N·S·(dB/dt).

Подставляем числовые значения:
  200 cos(ωt) = 1000 · (10^(–3)) · dB/dt.
Учтем, что 1000·10^(–3) = 1, поэтому
  dB/dt = 200 cos(ωt).

Интегрируем по времени, считая, что при t = 0 индукция равна нулю:
  B(t) = ∫0^t 200 cos(ωτ)dτ = (200/ω) sin(ωt).

Подставляем ω = 100π:
  B(t) = (200/(100π)) sin(100πt) = (2/π) sin(100πt).

————————————————————————————
Шаг 2. Выразить ток через закон магнитостатики

Для сердечника магнитомотивная сила определяется по соотношению:
  N·i(t) = ∫ H dl ≈ H·l  (при равномерном распределении H по длине l),
откуда
  H = (N/l)·i(t).

Но по заданной кривой намагничивания:
  H = 100·B + 200·B³.

Приравнивая два выражения для H получаем:
  N·i(t)/l = 100·B(t) + 200·[B(t)]³.

Отсюда ток:
  i(t) = (l/N)[100·B(t) + 200·(B(t))³].

Подставляем l = 0,2 м, N = 1000 и найденное B(t):
  B(t) = (2/π) sin(100πt).

Таким образом,
  i(t) = (0.2/1000)[100·(2/π) sin(100πt) + 200·((2/π) sin(100πt))³].

Выполним вычисления:
  0.2/1000 = 0.0002.
Заметим, что ((2/π) sin(100πt))³ = (8/π³) sin³(100πt).

Таким образом,
  i(t) = 0.0002 [ (200/π) sin(100πt) + 200·(8/π³) sin³(100πt) ].
  200·8 = 1600, то есть
  i(t) = 0.0002 [ (200/π) sin(100πt) + (1600/π³) sin³(100πt) ].

Перемножим константу:
  0.0002·200 = 0.04, 0.0002·1600 = 0.32.

Получаем:
  i(t) = (0.04/π) sin(100πt) + (0.32/π³) sin³(100πt).

Это и есть мгновенное значение тока.

————————————————————————————
Шаг 3. Представление синуса в виде гармоник (для расчёта эффективного значения)

Заметим, что sin³(ωt) можно выразить через гармоники по формуле:
  sin³x = (3 sin x – sin 3x)/4.

Тогда запишем:
  i(t) = (0.04/π) sin(ωt) + (0.32/π³)·[(3 sin(ωt) – sin(3ωt))/4],
где ω = 100π.

Определим коэффициенты:
  A = 0.04/π,
  B = 0.32/π³.
Тогда
  i(t) = [A + (3B)/4] sin(ωt) – (B/4) sin(3ωt).

Обозначим:
  A' = A + (3B)/4,  C = B/4.

Так как синусоидальные функции разных частот ортогональны, действующее (среднеквадратичное) значение тока вычисляется по формуле:
  i_...