Определить комплексную частотную характеристику оптимального фильтра, максимизируюшего отношение сигнал/помеха на выходе, если на вход подается аддитивная смесь статистически независимых прямоугольного видеоимпульса с амплитудой А длительностью T и шума с

Для решения задачи о нахождении комплексной частотной характеристики оптимального фильтра, максимизирующего отношение сигн...

Входной сигнал \( x(t) \) представляет собой аддитивную смесь прямоугольного видеоимпульса и шума: \[ x(t) = s(t) + n(t) \] где: - \( s(t) \) — сигнал (прямоугольный импульс с амплитудой \( A \) и длительностью \( T \)), - \( n(t) \) — шум с ковариационной функцией \( \underline{\underline{\mathbf{K}}(\tau)}=\sigma_{\mathrm{n}}^{2} \mathrm{e}^{-\alpha|\tau|} \). Спектр прямоугольного импульса \( s(t) \): \[ S(f) = A T \cdot \mathrm{sinc}(fT) \] где \( \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \). Спектр шума \( n(t) \) определяется его ковариационной функцией. Для данного шума: \[ N(f) = \sigma_{\mathrm{n}}^{2} \cdot \frac{1}{\alpha^2 + (2\pi f)^2} \] Оптимальный фильтр, максимизирующий отношение сигнал/помеха, можно получить с помощью метода Винера. Передаточная функция фильтра \( H(f) \) определяется как: \[ H(f) = \frac{S(f)}{N(f)} \] Подставим выражения для \( S(f) \) и \( N(f) \): \[ H(f) = \frac{A T \cdot \mathrm{sinc}(fT)}{\sigma_{\mathrm{n}}^{2} \cdot \frac{1}{\alpha^2 + (2\pi f)^2}} \] Упрощаем: \[ H(f) = \frac{A T (\alpha^2 + (2\pi f)^2)}{\sigma_{\mathrm{n}}^{2}} \cdot \mathrm{sinc}(fT) \] Комплексная частотная характеристика фильтра будет: \[ H(f) = \frac{A T (\alpha^2 + (2\pi f)^2)}{\sigma_{\mathrm{n}}^{2}} \cdot \frac{\sin(\pi f T)}{\pi f T} \] Структурная схема фильтра может быть представлена следующим образом: 1. \( x(t) \) поступает на фильтр. 2. с передаточной функцией \( H(f) \) обрабатывает входной сигнал. 3. \( y(t) \) — это отфильтрованный сигнал, который представляет собой оптимальное соотношение сигнал/помеха. Таким образом, мы получили комплексную частотную характеристику оптимального фильтра и описали его структурную схему.