Решение цепей постоянного тока. Необходимо: 1) Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму закону Кирхгофа. 2) Найти все токи в ветвях электрической цепи, пользуясь методом контурных токов. 3) Составить баланс

Для решения задачи по анализу цепей постоянного тока, следуем шаг за шагом.

Шаг 1: Составление системы уравнений по закон...

: сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла. : сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю. Предположим, что у нас есть три узла и три контура. Обозначим токи в ветвях следующим образом: - I1 — ток в ветви с E1 и R1 - I2 — ток в ветви с E2 и R2 - I3 — ток в ветви с E3 и R3 Составим уравнения для узлов и контуров. (где сходятся I1, I2 и I3): \[ I1 = I2 + I3 \] (с E1, R1 и R2): \[ E1 - I1 \cdot R1 - I2 \cdot R2 = 0 \] Подставим значения: \[ 55 - I1 \cdot 8 - I2 \cdot 4 = 0 \] (с E2, R2 и R3): \[ E2 - I2 \cdot R2 - I3 \cdot R3 = 0 \] Подставим значения: \[ 18 - I2 \cdot 4 - I3 \cdot 3 = 0 \] (с E3, R3 и R4): \[ E3 - I3 \cdot R3 - I4 \cdot R4 = 0 \] Подставим значения: \[ 4 - I3 \cdot 3 - I4 \cdot 2 = 0 \] Теперь у нас есть система из трех уравнений: 1. \( I1 - I2 - I3 = 0 \) 2. \( 55 - 8I1 - 4I2 = 0 \) 3. \( 18 - 4I2 - 3I3 = 0 \) Теперь решим систему уравнений. Начнем с первого уравнения: \[ I1 = I2 + I3 \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ 55 - 8(I2 + I3) - 4I2 = 0 \] \[ 55 - 8I2 - 8I3 - 4I2 = 0 \] \[ 55 - 12I2 - 8I3 = 0 \] \[ 12I2 + 8I3 = 55 \quad (1) \] Теперь подставим \( I1 \) в третье уравнение: \[ 18 - 4I2 - 3I3 = 0 \] \[ 4I2 + 3I3 = 18 \quad (2) \] Теперь у нас есть две уравнения (1) и (2): 1. \( 12I2 + 8I3 = 55 \) 2. \( 4I2 + 3I3 = 18 \) Решим систему (2) относительно \( I3 \): \[ 3I3 = 18 - 4I2 \] \[ I3 = \frac{18 - 4I2}{3} \] Подставим \( I3 \) в (1): \[ 12I2 + 8\left(\frac{18 - 4I2}{3}\right) = 55 \] Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей: \[ 36I2 + 8(18 - 4I2) = 165 \] \[ 36I2 + 144 - 32I2 = 165 \] \[ 4I2 + 144 = 165 \] \[ 4I2 = 21 \] \[ I2 = \frac{21}{4} = 5.25 \, A \] Теперь подставим \( I2 \) обратно, чтобы найти \( I3 \): \[ I3 = \frac{18 - 4 \cdot \frac{21}{4}}{3} = \frac{18 - 21}{3} = -1 \, A \] Теперь найдем \( I1 \): \[ I1 = I2 + I3 = 5.25 - 1 = 4.25 \, A \] Теперь составим баланс мощностей. Мощность, потребляемая каждым элементом, равна произведению тока на напряжение. - Мощность источника E1: \[ P_{E1} = E1 \cdot I1 = 55 \cdot 4.25 = 233.75 \, W \] - Мощность источника E2: \[ P_{E2} = E2 \cdot I2 = 18 \cdot 5.25 = 94.5 \, W \] - Мощность источника E3: \[ P_{E3} = E3 \cdot I3 = 4 \cdot (-1) = -4 \, W \] Суммируем: \[ P{E1} + P{E3} = 233.75 + 94.5 - 4 = 324.25 \, W \] Для построения потенциальной диаграммы необходимо указать напряжения на каждом элементе цепи. Напряжение на каждом резисторе можно найти по закону Ома: - \( U_{R1} = I1 \cdot R1 = 4.25 \cdot 8 = 34 \, V \) - \( U_{R2} = I2 \cdot R2 = 5.25 \cdot 4 = 21 \, V \) - \( U_{R3} = I3 \cdot R3 = -1 \cdot 3 = -3 \, V \) Потенциальная диаграмма будет выглядеть следующим образом: - Начальная точка (0V) — это точка подключения E1. - Затем добавляем напряжение E1 (55V). - Затем вычитаем напряжения на резисторах. Таким образом, потенциальная диаграмма будет представлять собой последовательное добавление и вычитание напряжений. 1. Система уравнений: - \( I1 - I2 - I3 = 0 \) - \( 55 - 8I1 - 4I2 = 0 \) - \( 18 - 4I2 - 3I3 = 0 \) 2. Токи: - \( I1 = 4.25 \, A \) - \( I2 = 5.25 \, A \) - \( I3 = -1 \, A \) 3. Баланс мощностей: - \( P_{вход} = 324.25 \, W \) 4. Потенциальная диаграмма: строится на основе найденных напряжений.