Условие:
Рассматривается спектральная тройка (\mathcal{A}, \mathcal{H}, D) некоммутативной геометрии, описывающая фрактальный барьер B размерности D, вложенный в \mathbb{R}^d с d=3. Оператор D — оператор Дирака, такой что D^2 = \Delta_B^{D}. Для любой гладкой функции f с компактным носителем справедлива асимптотика следа:
\operatorname{Tr} f(D^2) = \frac{1}{(4\pi)^{d/2}} \int_{\mathbb{R}^d} f(x) d^d x \cdot \left( \frac{D}{d} + o(1) \right) \quad \text{при высоких энергиях}.
\cdot D = 2.05,
\cdot d = 3,
\cdot Тепловое ядро p_t(x,x) \sim (4\pi t)^{-D/2} на фрактале.
1. Записать \operatorname{Tr} e^{-t\Delta_B^{D}} = \int_B p_t(y,y) d\mu_D(y).
2. Подставить асимптотику p_t(y,y) \sim (4\pi t)^{-D/2} и получить \operatorname{Tr} e^{-t\Delta_B^{D}} \sim \mu(B) (4\pi t)^{-D/2}.
3. С другой стороны, в объёмном пространстве \mathbb{R}^3 след оператора e^{-t\Delta_3} равен V_3 (4\pi t)^{-3/2}.
4. При проекции фрактального пространства в объём возникает эффективный множитель, равный отношению \frac{D}{d}, который можно извлечь из сравнения асимптотик после интегрирования по координатам.
5. Формально: \mu(B) \sim \frac{D}{d} V_3 (с точностью до нормировки).
Доказать, что для нашей конкретной модели фрактальной сферы (с мерой \rho(y) = |y|^{D-2}) выполняется \operatorname{Tr} f(D^2) = \frac{D}{3} \cdot \frac{1}{(4\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{R}^3} f(x) d^3x + \text{младшие члены}. Вычислить численное значение \frac{D}{3} для D=2.05.
