На капитал в сумме 500 тыс. руб. ежегодно начисляются сложный проценты по ставке 8% годовых в течение 5 лет. Определить эквивалентную ставку непрерывного начисления процентов (силу роста).

Для решения задачи нам нужно сначала рассчитать конечную сумму, которую мы получим через 5 лет при начислении ...

Формула для расчета суммы при сложных процентах выглядит следующим образом:

$$S = P \times (1 + r)^n$$

где:

• $S$ — конечная сумма,
• $P$ — начальный капитал (500,000 руб.),
• $r$ — ставка (8% или 0.08),
• $n$ — количество лет (5).

Подставим известные значения в формулу:

$$S = 500000 \times (1 + 0.08)^5$$

Теперь вычислим:

1. Сначала вычислим $(1 + 0.08)$:

$$1 + 0.08 = 1.08$$

2. Теперь возведем это значение в степень 5:

$$1.08^5 \approx 1.4693$$

3. Умножим на начальный капитал:

$$S \approx 500000 \times 1.4693 \approx 734650 \text{ руб.}$$

Формула для расчета суммы при непрерывном начислении процентов выглядит следующим образом:

$$S = P \times e^{rt}$$

где:

• $e$ — основание натурального логарифма (примерно 2.71828),
• $r$ — эквивалентная ставка непрерывного начисления,
• $t$ — время в годах (5).

Мы знаем, что конечная сумма $S$ равна 734650 руб., а начальный капитал $P$ равен 500000 руб. Подставим эти значения в формулу:

$$734650 = 500000 \times e^{5r}$$

Теперь решим это уравнение для $r$:

1. Разделим обе стороны на 500000:

$$\frac{734650}{500000} = e^{5r}$$

$$1.4693 = e^{5r}$$

2. Применим натуральный логарифм к обеим сторонам:

$$\ln(1.4693) = 5r$$

3. Вычислим $\ln(1.4693)$:

$$\ln(1.4693) \approx 0.384$$

4. Теперь найдем $r$:

$$0.384 = 5r$$

$$r = \frac{0.384}{5} \approx 0.0768$$

Чтобы выразить $r$ в процентах, умножим на 100:

$$r \approx 0.0768 \times 100 \approx 7.68\%$$

Эквивалентная ставка непрерывного начисления процентов составляет примерно .