2. Obtain the angular distribution of intensity for the interference pattern along the x axis for two plane waves of the same frequency intersect at an angle as shown in figure (please refer to the figure in last slide of Lecture 7). One wave is — задача №380410

Для решения задачи о распределении интенсивности в интерференционном паттерне двух плоских волн, пересекающихся под углом, следуем ...

Пусть у нас есть две плоские волны:

• Первая волна (горизонтальная) описывается уравнением:
  $$E0 \cos(kx - \omega t)$$
• Вторая волна (под углом θ) описывается уравнением:
  $$E0 \cos(k(x \cos \theta + y \sin \theta) - \omega t)$$

Согласно принципу суперпозиции, результирующее электрическое поле $E$ будет суммой двух волн:

$$E(x, y, t) = E2(x, y, t)$$

Подставим уравнения волн в выражение для результирующего поля:

$$E(x, y, t) = E0 \cos(k(x \cos \theta + y \sin \theta) - \omega t)$$

Используя формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$$

где $A = kx - \omega t$ и $B = k(x \cos \theta + y \sin \theta) - \omega t$.

Теперь найдем сумму и разность:

• Сумма:
  $$A + B = kx - \omega t + k(x \cos \theta + y \sin \theta) - \omega t = kx(1 + \cos \theta) + ky \sin \theta - 2\omega t$$
• Разность:
  $$A - B = kx - k(x \cos \theta + y \sin \theta) = kx(1 - \cos \theta) - ky \sin \theta$$

Теперь подставим эти выражения в формулу для результирующего поля:

$$E(x, y, t) = 2E_0 \cos\left(\frac{kx(1 + \cos \theta) + ky \sin \theta - 2\omega t}{2}\right) \cos\left(\frac{kx(1 - \cos \theta) - ky \sin \theta}{2}\right)$$

Интенсивность $I$ пропорциональна квадрату амплитуды:

$$I \propto |E|^2$$

Таким образом, интенсивность будет:

$$I \propto \left(2E_0 \cos\left(\frac{kx(1 + \cos \theta) + ky \sin \theta - 2\omega t}{2}\right) \cos\left(\frac{kx(1 - \cos \theta) - ky \sin \theta}{2}\right)\right)^2$$

Упрощая, получаем:

$$I \propto 4E_0^2 \cos^2\left(\frac{kx(1 + \cos \theta) + ky \sin \theta - 2\omega t}{2}\right) \cos^2\left(\frac{kx(1 - \cos \theta) - ky \sin \theta}{2}\right)$$

Распределение интенсивности будет зависеть от угла θ и расстояния от точки пересечения волн. Для нахождения конкретного распределения интенсивности вдоль оси x, необходимо подставить конкретные значения для $k$, $\theta$ и $t$.

Таким образом, мы получили выражение для распределения интенсивности интерференционного паттерна двух плоских волн, пересекающихся под углом θ.