Условие:
2.6. Коммутируют ли между собой приведенные ниже операторы:
а) А = x, В = y; б) А = ∂/∂x, В = y ; в) А = ∂/∂x, В = х;
г) А = i∂/∂x
Решение:
Чтобы определить, коммутируют ли операторы, нужно вычислить их коммутатор. Коммутатор двух операторов \( A \) и \( B \) определяется как: \[ [...
1. Вычислим \( AB \): \[ AB = xy \] 2. Вычислим \( BA \): \[ BA = yx \] 3. Найдем коммутатор: \[ [A, B] = xy - yx = 0 \] Операторы \( A \) и \( B \) коммутируют. 1. Вычислим \( AB \): \[ AB = \frac{\partial}{\partial x}(y) = 0 \] 2. Вычислим \( BA \): \[ BA = y \frac{\partial}{\partial x} \] 3. Найдем коммутатор: \[ [A, B] = 0 - y \frac{\partial}{\partial x} = -y \frac{\partial}{\partial x} \] Операторы \( A \) и \( B \) не коммутируют. 1. Вычислим \( AB \): \[ AB = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1 \] 2. Вычислим \( BA \): \[ BA = x \frac{\partial}{\partial x} \] 3. Найдем коммутатор: \[ [A, B] = 1 - x \frac{\partial}{\partial x} \] Операторы \( A \) и \( B \) не коммутируют. Здесь не указано, с каким оператором мы сравниваем \( A \). Предположим, что мы рассматриваем \( B = x \). 1. Вычислим \( AB \): \[ AB = i \frac{\partial}{\partial x}(x) = i \] 2. Вычислим \( BA \): \[ BA = x \left(i \frac{\partial}{\partial x}\right) = i x \frac{\partial}{\partial x} \] 3. Найдем коммутатор: \[ [A, B] = i - i x \frac{\partial}{\partial x} \] Операторы \( A \) и \( B \) не коммутируют. а) Коммутируют. б) Не коммутируют. в) Не коммутируют. г) Не коммутируют (при условии, что \( B = x \)).