Для решения задачи о напряженности электрического поля внутри диэлектрической пластины с заданной поляризованностью, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Определение поляризованности
Дано, что поляризованность пластины описывается уравнением:
\[
\mathbf{P} = \mathbf{P_0} \left(1 - \frac{x^2}{d^2}\right)
\]
где:
- \( \mathbf{P_0} \) — максимальная поляризованность,
- \( x \) — расстояние от середины пластины,
- \( d \) — полутолщина пластины.
Шаг 2: Связь между поляризованностью и ...
Электрическая поляризованность связана с электрическим полем \( \mathbf{E} \) через уравнение:
\[
\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}
\]
где \( \mathbf{D} \) — вектор смещения, \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная.
Для незаряженной пластины:
\[
\mathbf{D} = 0
\]
Следовательно:
\[
\varepsilon0}
\]
Подставим выражение для поляризованности \( \mathbf{P} \):
\[
\mathbf{E} = -\frac{1}{\varepsilon0} \left(1 - \frac{x^2}{d^2}\right)
\]
Таким образом, напряженность электрического поля внутри пластины будет:
\[
\mathbf{E}(x) = -\frac{P0} \left(1 - \frac{x^2}{d^2}\right)
\]
Разность потенциалов \( U \) между двумя поверхностями пластины можно найти, интегрируя напряженность электрического поля:
\[
U = -\int_{-d}^{d} \mathbf{E}(x) \, dx
\]
Подставим выражение для \( \mathbf{E}(x) \):
\[
U = -\int0}{\varepsilon_0} \left(1 - \frac{x^2}{d^2}\right)\right) \, dx
\]
\[
U = \frac{P0} \int_{-d}^{d} \left(1 - \frac{x^2}{d^2}\right) \, dx
\]
Вычислим интеграл:
\[
\int_{-d}^{d} 1 \, dx = 2d
\]
\[
\int_{-d}^{d} \frac{x^2}{d^2} \, dx = \frac{1}{d^2} \cdot \frac{2d^3}{3} = \frac{2d}{3}
\]
Таким образом:
\[
\int_{-d}^{d} \left(1 - \frac{x^2}{d^2}\right) \, dx = 2d - \frac{2d}{3} = \frac{6d}{3} - \frac{2d}{3} = \frac{4d}{3}
\]
Теперь подставим результат интеграла в уравнение для разности потенциалов:
\[
U = \frac{P0} \cdot \frac{4d}{3}
\]
Таким образом, напряженность электрического поля внутри пластины:
\[
\mathbf{E}(x) = -\frac{P0} \left(1 - \frac{x^2}{d^2}\right)
\]
Разность потенциалов между поверхностями пластины:
\[
U = \frac{4P0}
\]
