4. Показать, что поле является потенциальным и найти его потенциал. [ ar{a}=left(2 x^{2}+y^{2} z ight) ar{i}+(4 y+2 x y z) ar{j}+left(9 z^{2}+x y^{2} ight) ar{k} ]

24 октября 2025
Физика

Условие:

4. Показать, что поле является потенциальным и найти его потенциал.
\[
\bar{a}=\left(2 x^{2}+y^{2} z\right) \bar{i}+(4 y+2 x y z) \bar{j}+\left(9 z^{2}+x y^{2}\right) \bar{k}
\]

Решение:

Мы ищем потенциал функции, то есть функцию f(x,y,z), такую что ∂f/∂x = 2x² + y²z, ∂f/∂y = 4y + 2xyz, ∂f/∂z = 9z² + xy². Поскольку смешанные вторые производные совпадают (что можно проверить), поле потенциальное. Рассмотрим пошаговое нахождение потенциальной функции. Шаг 1. Интегрируем по x Начнём с равенства fₓ = 2x² + y²z. Интегрируя по x, получаем: f(x,y,z) = ∫(2x² + y²z) dx = (2/3)x³ + xy²z + g(y,z), где g(y,z) — функция, константа интегрирова...