• 5.5. Сила тока в проводнике изменяется по закону I = kt(τ-1), где к - некоторая постоянная. Сопротивление проводника R. Определите: а) заряд, прошедший через сечение проводника за время τ; б) количество тепла, выделившееся в проводнике за это же время.

Для решения задачи, давайте разберем каждый пункт по отдельности.

а) Определение заряда, прошедшего через сечение...

Сила тока \( I \) в проводнике задана уравнением: \[ I = kt(\tau - 1) \] Заряд \( Q \), прошедший через сечение проводника за время \( \tau \), можно найти по формуле: \[ Q = \int_0^{\tau} I(t) \, dt \] Подставим выражение для тока: \[ Q = \int_0^{\tau} kt(\tau - 1) \, dt \] Теперь вычислим интеграл: 1. Вынесем постоянную \( k(\tau - 1) \) за знак интеграла: \[ Q = k(\tau - 1) \int_0^{\tau} t \, dt \] 2. Вычислим интеграл \( \int_0^{\tau} t \, dt \): \[ \int0^{\tau} = \frac{\tau^2}{2} \] 3. Подставим результат обратно в формулу для заряда: \[ Q = k(\tau - 1) \cdot \frac{\tau^2}{2} \] Таким образом, заряд, прошедший через сечение проводника за время \( \tau \): \[ Q = \frac{k(\tau - 1) \tau^2}{2} \] Количество тепла \( Q_{тепло} \), выделившееся в проводнике, можно найти по формуле: \[ Q_{тепло} = I^2 R t \] Где \( I \) - это сила тока, \( R \) - сопротивление проводника, а \( t \) - время. Подставим выражение для тока: \[ Q0^{\tau} I^2(t) R \, dt \] Подставим \( I(t) = kt(\tau - 1) \): \[ Q0^{\tau} (kt(\tau - 1))^2 \, dt \] 1. Вынесем \( Rk^2(\tau - 1)^2 \) за знак интеграла: \[ Q0^{\tau} t^2 \, dt \] 2. Вычислим интеграл \( \int_0^{\tau} t^2 \, dt \): \[ \int0^{\tau} = \frac{\tau^3}{3} \] 3. Подставим результат обратно в формулу для тепла: \[ Q_{тепло} = Rk^2(\tau - 1)^2 \cdot \frac{\tau^3}{3} \] Таким образом, количество тепла, выделившееся в проводнике за время \( \tau \): \[ Q_{тепло} = \frac{Rk^2(\tau - 1)^2 \tau^3}{3} \] а) Заряд, прошедший через сечение проводника за время \( \tau \): \[ Q = \frac{k(\tau - 1) \tau^2}{2} \] б) Количество тепла, выделившееся в проводнике за это же время: \[ Q_{тепло} = \frac{Rk^2(\tau - 1)^2 \tau^3}{3} \]