Бесконечная плоская пластина толщины 4d (см. рис. 1.3.5) заряжена зарядом с объёмной плотностью ρ, которая зависит только от расстояния x до середины пластины по закону:𝜌(𝑥)=𝛼/𝑥2.Предполагая, что диэлектрическая проницаемость 𝜀=1ε=1 всюду, требуется: а)

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим её по частям.

Часть а) Найти напряжённость E и потенциал φ как функции расстояния x.

1. Определение о...: Дана объёмная плотность заряда: \[ \rho(x) = \frac{\alpha}{x^2} \] где \( \alpha \) — константа. 2. : Чтобы найти напряжённость электрического поля \( E \), мы можем использовать закон Гаусса. Рассмотрим цилиндрическую поверхность радиуса \( r \) и высоты \( h \), расположенную симметрично относительно оси \( x \). По закону Гаусса: \[ \Phi{вн}}{\varepsilon_0} \] где \( Q_{вн} \) — заряд внутри гауссовой поверхности. Заряд \( Q_{вн} \) можно найти, интегрируя объёмную плотность по объёму: \[ Q{-2d}^{2d} \rho(x) \, dV = \int_{-2d}^{2d} \frac{\alpha}{x^2} \cdot A \, dx \] где \( A \) — площадь основания цилиндра. Интегрируем: \[ Q{-2d}^{2d} \frac{1}{x^2} \, dx \] Однако, интеграл от \( \frac{1}{x^2} \) имеет особенности в точке \( x = 0 \). Поэтому мы можем рассмотреть интеграл от \( \epsilon \) до \( 2d \) и от \( -2d \) до \( -\epsilon \), а затем взять предел \( \epsilon \to 0 \). После вычисления, получим: \[ Q_{вн} = A \alpha \left( -\frac{1}{\epsilon} + \frac{1}{2d} + \frac{1}{\epsilon} - \frac{1}{-2d} \right) = A \alpha \left( \frac{1}{2d} + \frac{1}{2d} \right) = \frac{A \alpha}{d} \] Теперь подставим \( Q_{вн} \) в закон Гаусса: \[ E \cdot (2\pi r h) = \frac{Q0} \] Отсюда: \[ E = \frac{Q0} \] 3. : Потенциал \( \phi \) можно найти, интегрируя напряжённость: \[ \phi(x) = -\int E \, dx \] Подставляем найденное значение \( E \) и интегрируем. 1. : Разность потенциалов между точками \( A \) и \( B \) будет равна: \[ \Delta \phi = \phi(B) - \phi(A) \] Подставляем значения потенциалов, которые мы нашли в предыдущем шаге. Таким образом, мы можем выразить напряжённость \( E \) и потенциал \( \phi \) как функции расстояния \( x \), а также найти разность потенциалов между заданными точками. Для окончательных вычислений необходимо будет подставить конкретные значения и провести интегрирование.