Дано: Δx Δp_x ≥ ℏ Δx = r n = 1 Z = 1 t = h / (2π) Требуется найти: E_min

8 октября 2025
Физика

Условие:

Дано	Решение
\[ \begin{array}{l} \Delta x \Delta p{\lambda} \geqslant \hbar
\Delta x=r \end{array} \]	\( \Delta x \Delta p{x} \geqslant \hbar, \quad \frac{\Delta p{x}}{p{x}} \approx 1, \quad p{x}=\Delta p{x}=\frac{\hbar}{\Delta x}=\frac{\hbar}{r} \),
\[ \begin{array}{l} n=1
Z=1 \end{array} \]	\( E=T+\Pi=\frac{p^{2}}{2 m}+\left(-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon{0} r}\right), \quad E=\frac{\hbar^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon{0} r} \),
E{\text {min }-?}
\[ r{\min } \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} r}=0, \]	\( \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} r}=-\frac{\hbar^{2}}{m r^{3}}+\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon{0} r^{2}}, \quad \frac{1}{r^{2}}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon{0}}-\frac{\hbar^{2}}{m r}\right)=0 \),
\[ r{\min }=\frac{4 \pi \varepsilon{0} \hbar^{2}}{m e^{2}}, \]	\[ E{\min }=\frac{\hbar^{2}}{2 m r{\min }^{2}}-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon{0} r{\min }}=-\frac{m e^{4}}{2\left(4 \pi \varepsilon{0}\right)^{2} \hbar^{2}}, \]
\( t=\frac{h}{2 \pi} \),	\[ E{\min }=-\frac{m e^{4}}{8 h^{2} \varepsilon{0}^{2}} \]
Ombem E{\text {min }}	\( \frac{m e^{4}}{8 h^{2} \varepsilon_{0}^{2}}=-13,6 \) эВ.

Решение:

Ниже приведено пошаговое решение задачи на русском языке. 1. Начнём с принципа неопределённости Гейзенберга, который в приближённом виде можно записать так: Δx · Δp ≳ ℏ Если принять, что неопределённость координаты равна радиусу орбиты (Δx = r), то можно оценить импульс p ≈ Δp ≈ ℏ/r. 2. Выразим кинетическую энергию частицы (электрона). Кинетическая энергия T при импульсе p определяется как T = p²/(2m) Подставляя оценку для импульса, получаем T = ℏ²/(2m r²). 3. Поскольку рассматривается атом водорода (n = 1, Z = 1), потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра ...