Условие:
Два пассажира одинаковой массой m = 70 кг находятся на платформе, стоящей неподвижно на рельсах. Масса плат-формы M = 280 кг. Каждый пассажир начинает бежать с оди-наковой относительно платформы скоростью u = 6, 0M / c Най-ти скорость, которую приобретает платформа, если они спрыгнут: а) в одну сторону одновременно; б) в разные сторо-ны одновременно; в) в одну сторону последовательно; г) в раз-ные стороны последовательно. В случаях «в» и «г» второй пассажир начинает бежать после того, как спрыгнет первый
Решение:
Для решения задачи будем использовать закон сохранения импульса. Импульс системы до и после событий (прыжков пассажиров) должен оставаться постоянным, так как внешние силы отсутс...
- Масса пассажиров \( m = 70 \, \text{кг} \) - Масса платформы \( M = 280 \, \text{кг} \) - Скорость пассажиров относительно платформы \( u = 6.0 \, \text{м/с} \) Импульс системы до прыжка равен нулю, так как платформа и пассажиры изначально неподвижны. После прыжка импульс системы будет равен сумме импульсов пассажиров и платформы. Обозначим скорость платформы после прыжка как \( V \). Когда оба пассажира прыгают в одну сторону, их импульс будет направлен в одну сторону, а платформа получит импульс в противоположную сторону. Импульс до прыжка: \[ P_{\text{до}} = 0 \] Импульс после прыжка: \[ P_{\text{после}} = 2m \cdot u - M \cdot V \] По закону сохранения импульса: \[ 0 = 2m \cdot u - M \cdot V \] \[ M \cdot V = 2m \cdot u \] \[ V = \frac{2m \cdot u}{M} \] Подставим значения: \[ V = \frac{2 \cdot 70 \cdot 6}{280} = \frac{840}{280} = 3 \, \text{м/с} \] В этом случае импульсы пассажиров будут равны и направлены в противоположные стороны, поэтому их импульсы взаимно уничтожаются. Импульс после прыжка: \[ P_{\text{после}} = m \cdot u - m \cdot u - M \cdot V \] \[ P_{\text{после}} = 0 - M \cdot V \] По закону сохранения импульса: \[ 0 = 0 - M \cdot V \] \[ V = 0 \] Первый пассажир прыгает, и платформа получает скорость \( V_1 \). Затем второй пассажир прыгает с той же скоростью относительно платформы, но уже с учетом скорости платформы. После первого прыжка: \[ V_1 = \frac{m \cdot u}{M + m} \] \[ V_1 = \frac{70 \cdot 6}{280 + 70} = \frac{420}{350} = 1.2 \, \text{м/с} \] Теперь второй пассажир прыгает с относительной скоростью \( u \) к платформе, которая уже движется с \( V_1 \): Импульс после второго прыжка: \[ P1) - M \cdot V_2 \] По закону сохранения импульса: \[ 0 = m \cdot (u + V2 \] \[ M \cdot V1) \] \[ V1)}{M} \] Подставим значения: \[ V_2 = \frac{70 \cdot (6 + 1.2)}{280} = \frac{70 \cdot 7.2}{280} = \frac{504}{280} = 1.8 \, \text{м/с} \] Первый пассажир прыгает, и платформа получает скорость \( V_1 \) (как в предыдущем случае). Второй пассажир прыгает в противоположную сторону. Импульс после первого прыжка: \[ V_1 = 1.2 \, \text{м/с} \] Теперь второй пассажир прыгает в противоположную сторону: Импульс после второго прыжка: \[ P1) - M \cdot V_2 \] По закону сохранения импульса: \[ 0 = m \cdot (u - V2 \] \[ M \cdot V1) \] \[ V1)}{M} \] Подставим значения: \[ V_2 = \frac{70 \cdot (6 - 1.2)}{280} = \frac{70 \cdot 4.8}{280} = \frac{336}{280} = 1.2 \, \text{м/с} \] а) \( V = 3 \, \text{м/с} \) (в одну сторону одновременно) б) \( V = 0 \) (в разные стороны одновременно) в) \( V = 1.8 \, \text{м/с} \) (в одну сторону последовательно) г) \( V = 1.2 \, \text{м/с} \) (в разные стороны последовательно)