Электрическое поле создано зарядом тонкого равномерно заряженного стержня, изогнутого под прямым углом. Длина каждой стороны угольника 20 см. Линейная плотность зарядов равна 500 нКл/м. Вычислить напряженность поля на середине гипотенузы воображаемого

Для решения задачи о напряженности электрического поля, созданного тонким равномерно заряженным стержнем, изогнутым под прямым углом, мы будем использовать принцип суперпозиции и и...

• Длина каждой стороны угольника (стержня) $L = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м}$
• Линейная плотность заряда $\lambda = 500 \, \text{нКл/м} = 500 \times 10^{-9} \, \text{Кл/м}$

Середина гипотенузы воображаемого треугольника будет находиться на расстоянии $\frac{L}{\sqrt{2}}$ от каждой из сторон, так как гипотенуза равнобедренного треугольника делит его на две равные части.

Напряженность электрического поля $dE$ от элемента заряда $dq$ на расстоянии $r$ от него определяется по формуле:

$$dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dq}{r^2}$$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, равная $8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}$.

Элемент заряда $dq$ можно выразить через линейную плотность заряда:

$$dq = \lambda \, dx$$

где $dx$ — малый элемент длины стержня.

Для каждой стороны стержня (по оси $x$ и по оси $y$) напряженность будет направлена в сторону середины гипотенузы. Мы будем интегрировать от 0 до $L$:

1. :

$$E0^L \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\lambda \, dx}{\left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)^2}$$

2. :

$$E0^L \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\lambda \, dy}{\left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)^2}$$

Подставим значения в интегралы:

Ey = \int0} \cdot \frac{\lambda}{\left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)^2} \, dx

$$= \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{\left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)^2} \cdot L$$

$$= \frac{500 \times 10^{-9}}{4\pi \cdot 8.85 \times 10^{-12}} \cdot \frac{1}{\left(\frac{0.2}{\sqrt{2}}\right)^2} \cdot 0.2$$

Теперь вычислим:

1. $\left(\frac{0.2}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{0.04}{2} = 0.02$
2. $\frac{1}{0.02} = 50$
3. $\frac{500 \times 10^{-9}}{4\pi \cdot 8.85 \times 10^{-12}} \approx 4.5 \times 10^{4}$

Теперь подставим:

$$Ey \approx 4.5 \times 10^{4} \cdot 50 \approx 2.25 \times 10^{6} \, \text{Н/Кл}$$

Общая напряженность электрического поля $E$ будет равна:

$$E = \sqrt{Ey^2} = \sqrt{(2.25 \times 10^{6})^2 + (2.25 \times 10^{6})^2} = 2.25 \times 10^{6} \sqrt{2} \approx 3.18 \times 10^{6} \, \text{Н/Кл}$$

Напряженность электрического поля на середине гипотенузы равна примерно $3.18 \times 10^{6} \, \text{Н/Кл}$.