Если потенциальная энергия системы точек есть однородная функция n-го порядка от декартовых координат, то показать, что существуют подобные траектории и определить зависимость скоростей, периодов и энергии от размеров

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим потенциальную энергию системы точек, которая является однородной функцией ...

Однородная функция n-го порядка удовлетворяет следующему свойству: \[ U(kx, ky, kz) = k^n U(x, y, z) \] для любого положительного числа \( k \). Это означает, что если мы масштабируем координаты, то потенциальная энергия изменяется в соответствии с этим масштабом. Согласно теореме Эйлера для однородных функций, мы можем записать: \[ x \frac{\partial U}{\partial x} + y \frac{\partial U}{\partial y} + z \frac{\partial U}{\partial z} = n U \] Это уравнение связывает производные потенциальной энергии с самой потенциальной энергией. Если потенциальная энергия является однородной функцией, то можно показать, что движения частиц в этой системе будут подобны. Это связано с тем, что при масштабировании координат (например, \( x \to kx, y \to ky, z \to kz \)) система сохраняет свою форму, что приводит к подобным траекториям. 1. : Если мы обозначим скорость как \( v \), то при масштабировании координат \( v \) будет изменяться как \( v \to kv \). Это связано с тем, что скорость является производной координаты по времени, и при изменении масштаба координаты скорость также изменяется пропорционально. 2. : Период \( T \) колебаний в системе будет зависеть от потенциальной энергии. Если потенциальная энергия имеет однородный вид, то период будет изменяться как \( T \to k^{\frac{n}{2}} T \) (это следует из того, что период колебаний пропорционален корню из массы и обратно пропорционален корню из жесткости, которая зависит от потенциальной энергии). 3. : Полная механическая энергия системы \( E \) также будет зависеть от масштаба. Если потенциальная энергия \( U \) изменяется как \( k^n U \), то полная энергия будет изменяться как \( E \to k^n E \). Таким образом, мы показали, что при однородной функции n-го порядка для потенциальной энергии системы точек существуют подобные траектории. Мы также определили, что скорости, периоды и энергия изменяются пропорционально размерам системы, что можно выразить через масштабный коэффициент \( k \): - Скорости: \( v \to kv \) - Периоды: \( T \to k^{\frac{n}{2}} T \) - Энергия: \( E \to k^n E \) Это завершает решение задачи.