Колебание источника задано уравнением ξ = 20 ⋅ cos ⁡ ( ω t + π / 3 ) ξ=20⋅cos(ωt+π/3), мм. Найти отношение смещений в момент времени t 1 = T / 6 t 1 ​ =T/6 двух точек M и P, расстояние между которыми Δ y = 0 , 6 λ Δy=0,6λ, а расстояние точки M от

Для решения задачи начнем с анализа уравнения колебания источника:

$
\xi = 20 \cdot \cos(\omega t + \frac{\pi}{3}), \text{ мм}
$

где $\xi$ — смещение, $\omega$ — угловая частота, $t$ — время.

Шаг 1: Найдем период колебан...

Период $T$ связан с угловой частотой $\omega$ следующим образом:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

Подставим $t_1$ в уравнение колебания:

$$t_1 = \frac{T}{6} = \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega}$$

Теперь подставим $t_1$ в уравнение смещения:

$$\xi(t_1) = 20 \cdot \cos\left(\omega \cdot \frac{\pi}{3\omega} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$

Значение $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$:

$$\xi(t_1) = 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -10 \text{ мм}$$

Расстояние от источника до точки M равно $0,1\lambda$. Находим смещение в точке M:

\xi1 + \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 0,1\lambda + \frac{\pi}{3}\right)

Упрощаем:

\xi1 + 0,2\pi + \frac{\pi}{3}\right)

Теперь найдем $\frac{\pi}{3} + 0,2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{10} = \frac{10\pi + 6\pi}{30} = \frac{16\pi}{30} = \frac{8\pi}{15}$:

\xi1 + \frac{8\pi}{15}\right)

Расстояние от источника до точки P равно $0,1\lambda + 0,6\lambda = 0,7\lambda$:

\xi1 + \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 0,7\lambda + \frac{\pi}{3}\right)

Упрощаем:

\xi1 + 1.4\pi + \frac{\pi}{3}\right)

Теперь найдем $\frac{\pi}{3} + 1.4\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{4.2\pi}{3} = \frac{5.2\pi}{3}$:

\xi1 + \frac{5.2\pi}{3}\right)

Теперь нам нужно найти отношение смещений \frac{\xiP}:

\frac{\xiP} = \frac{20 \cdot \cos\left(\omega t1 + \frac{5.2\pi}{3}\right)} = \frac{\cos\left(\omega t1 + \frac{5.2\pi}{3}\right)}

Так как $t_1$ одинаков для обеих точек, мы можем подставить его значение и найти конкретные значения косинусов, если это необходимо. Однако, для нахождения отношения достаточно оставить в таком виде.

Отношение смещений в момент времени $t_1 = \frac{T}{6}$ двух точек M и P:

\frac{\xiP} = \frac{\cos\left(\omega t1 + \frac{5.2\pi}{3}\right)}