Колебательный контур, состоящий из конденсатора емкостью 2,5 мкФ, катушки с индуктивностью 4 Гн и сопротивлением 0,4 Ом, подключили к источнику переменного напряжения, изменяющегося по закону U=200cos100t. Найти мгновенное значение заряда на конденсаторе

Для решения задачи о колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки, начнем с анализа параметров, которые нам даны:

1. Емкость конденсатора $C = 2,5 \, \mu F = 2,5 \times 10^{-6} \, F$...

Угловая частота $\omega$ задана в уравнении напряжения:

$$\omega = 100 \, \text{рад/с}$$

Резонансная частота $\omega_0$ колебательного контура определяется по формуле:

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Подставим значения $L$ и $C$:

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 2,5 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{10} \times 10^{-3}} = \frac{10^3}{\sqrt{10}} \approx 316,23 \, \text{рад/с}$$

Полное сопротивление $Z$ колебательного контура можно найти по формуле:

$$Z = \sqrt{R^2 + (XC)^2}$$

где $XC = \frac{1}{\omega C}$ — реактивное сопротивление конденсатора.

Сначала найдем $XC$:

$$X_L = \omega L = 100 \cdot 4 = 400 \, \Omega$$

$$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \cdot 2,5 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2,5 \times 10^{-4}} = 4000 \, \Omega$$

Теперь подставим значения в формулу для полного сопротивления:

$$Z = \sqrt{(0,4)^2 + (400 - 4000)^2} = \sqrt{0,16 + (-3600)^2} = \sqrt{0,16 + 12960000} \approx \sqrt{12960000} \approx 3600 \, \Omega$$

Ток $I(t)$ в контуре можно найти по формуле:

$$I(t) = \frac{U_0}{Z} \cos(\omega t - \phi)$$

где $U_0 = 200$ — амплитуда напряжения, а $\phi$ — фазовый сдвиг, который можно найти как:

$$\tan(\phi) = \frac{XC}{R}$$

Подставим значения:

$$\tan(\phi) = \frac{400 - 4000}{0,4} = \frac{-3600}{0,4} = -9000$$

Это означает, что $\phi$ будет очень близок к $-\frac{\pi}{2}$.

Теперь найдем ток:

$$I(t) = \frac{200}{3600} \cos(100t - \phi) \approx 0,0556 \cos(100t + \frac{\pi}{2}) = 0,0556 \sin(100t)$$

Заряд на конденсаторе $Q(t)$ связан с током следующим образом:

$$Q(t) = C \cdot U(t) = C \cdot U_0 \cos(\omega t)$$

Так как $U(t) = U_0 \cos(\omega t)$, то:

$$Q(t) = C \cdot I(t) = C \cdot \frac{U_0}{Z} \sin(\omega t)$$

Теперь подставим значения:

$$Q(t) = 2,5 \times 10^{-6} \cdot 200 \cdot \sin(100t)$$

Подставим $t = \frac{\pi}{200}$:

$$Q\left(\frac{\pi}{200}\right) = 2,5 \times 10^{-6} \cdot 200 \cdot \sin\left(100 \cdot \frac{\pi}{200}\right)$$

$$= 2,5 \times 10^{-6} \cdot 200 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2,5 \times 10^{-6} \cdot 200 \cdot 1$$

$$= 2,5 \times 10^{-6} \cdot 200 = 5 \times 10^{-4} \, C$$

Мгновенное значение заряда на конденсаторе в момент времени $t = \frac{\pi}{200}$ составляет $5 \times 10^{-4} \, C$ или $0,5 \, мкКл$.