Для решения задачи, давайте поэтапно разберем все необходимые шаги.
Шаг 1: Определение параметров колебательного контура
1.
Емкость конденсатора (C): 0,5 мкФ = \(0,5 \times 10^{-6}\) Ф.
2.
Индуктивность катушки (L): 250 мГн = \(250 \times 10^{-3}\) Гн.
3.
Сопротивление (R): 40 Ом.
4.
Начальный ток (I₀): 40 мА = \(0,04\) А.
Шаг 2: Уравнение колеба...
После отключения источника постоянного тока, система будет вести себя как затухающий колебательный контур. Уравнение для напряжения на конденсаторе можно записать в виде:
\[
U(t) = Ud t + \phi)
\]
где:
- \(U_0\) — начальное напряжение на конденсаторе,
- \(\omega_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}\) — угловая частота затухающих колебаний,
- \(\phi\) — начальная фаза (в данном случае можно взять 0, если начальное напряжение совпадает с максимальным).
Начальное напряжение на конденсаторе можно найти по закону Ома:
\[
U0 \cdot R = 0,04 \, \text{А} \cdot 40 \, \text{Ом} = 1,6 \, \text{В}
\]
Теперь найдем \(\omega_d\):
\[
\omega_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}
\]
Подставим значения:
\[
\frac{1}{LC} = \frac{1}{(250 \times 10^{-3}) \cdot (0,5 \times 10^{-6})} = \frac{1}{1,25 \times 10^{-10}} = 8 \times 10^9 \, \text{рад/с}^2
\]
\[
\frac{R}{2L} = \frac{40}{2 \cdot (250 \times 10^{-3})} = \frac{40}{0,5} = 80 \, \text{рад/с}
\]
Теперь подставим в формулу:
\[
\omega_d = \sqrt{8 \times 10^9 - 80^2} = \sqrt{8 \times 10^9 - 6400} \approx \sqrt{8 \times 10^9} \approx 89442 \, \text{рад/с}
\]
Теперь подставим все значения в уравнение:
\[
U(t) = 1,6 e^{-\frac{40}{2 \cdot 0,25} t} \cos(89442 t)
\]
Упрощаем:
\[
U(t) = 1,6 e^{-80 t} \cos(89442 t)
\]
Период колебаний \(T\) можно найти как:
\[
T = \frac{2\pi}{\omega_d} \approx \frac{2\pi}{89442} \approx 7,03 \times 10^{-5} \, \text{с}
\]
Теперь находим время через 4 периода:
\[
t = 4T \approx 4 \cdot 7,03 \times 10^{-5} \approx 2,812 \times 10^{-4} \, \text{с}
\]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[
U(4T) = 1,6 e^{-80 \cdot 2,812 \times 10^{-4}} \cos(89442 \cdot 2,812 \times 10^{-4})
\]
Вычислим:
\[
U(4T) \approx 1,6 e^{-0,0225} \cos(251.3) \approx 1,6 \cdot 0,977 \cdot (-0,031) \approx -0,049 \, \text{В}
\]
Энергия в контуре определяется как:
\[
E = \frac{1}{2} C U^2
\]
Начальная энергия:
\[
E_0 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \cdot (1,6)^2 \approx 6,4 \times 10^{-7} \, \text{Дж}
\]
Энергия через 4 периода:
\[
E(4T) = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \cdot (0,049)^2 \approx 1,2 \times 10^{-9} \, \text{Дж}
\]
Теперь найдем, во сколько раз изменилась энергия:
\[
\frac{E_0}{E(4T)} \approx \frac{6,4 \times 10^{-7}}{1,2 \times 10^{-9}} \approx 533,33
\]
График можно построить, используя уравнение:
\[
U(t) = 1,6 e^{-80 t} \cos(89442 t)
\]
Для построения графика можно использовать программное обеспечение для построения графиков, например, Python с библиотеками Matplotlib и NumPy.
Электрический колебательный контур можно изобразить следующим образом:
Где:
- [C] — конденсатор,
- [L] — катушка индуктивности,
- [R] — сопротивление.
1. Уравнение колебаний: \( U(t) = 1,6 e^{-80 t} \cos(89442 t) \)
2. Напряжение через 4 периода: \( U(4T) \approx -0,049 \, \text{В} \)
3. Изменение энергии: энергия уменьшилась в 533,33 раза.
