Конденсатор емкостью 0,5 мкф подключен параллельно катушке индуктивностью 250 мГн. и сопротивлением 40 Ом. Через катушку пропустили ток 40 мА и отключили источник. Запишите уравнение колебаний напряжения на конденсаторе после отключения источника

Для решения задачи, давайте поэтапно разберем все необходимые шаги.

Шаг 1: Определение параметров колебательного контура

1. Емкость конденсатора (C): 0,5 мкФ = \(0,5 \times 10^{-6}\) Ф.
2. Индуктивность катушки (L): 250 мГн = \(250 \times 10^{-3}\) Гн.
3. Сопротивление (R): 40 Ом.
4. Начальный ток (I₀): 40 мА = \(0,04\) А.

Шаг 2: Уравнение колеба...

После отключения источника постоянного тока, система будет вести себя как затухающий колебательный контур. Уравнение для напряжения на конденсаторе можно записать в виде: \[ U(t) = Ud t + \phi) \] где: - \(U_0\) — начальное напряжение на конденсаторе, - \(\omega_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2}\) — угловая частота затухающих колебаний, - \(\phi\) — начальная фаза (в данном случае можно взять 0, если начальное напряжение совпадает с максимальным). Начальное напряжение на конденсаторе можно найти по закону Ома: \[ U0 \cdot R = 0,04 \, \text{А} \cdot 40 \, \text{Ом} = 1,6 \, \text{В} \] Теперь найдем \(\omega_d\): \[ \omega_d = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2} \] Подставим значения: \[ \frac{1}{LC} = \frac{1}{(250 \times 10^{-3}) \cdot (0,5 \times 10^{-6})} = \frac{1}{1,25 \times 10^{-10}} = 8 \times 10^9 \, \text{рад/с}^2 \] \[ \frac{R}{2L} = \frac{40}{2 \cdot (250 \times 10^{-3})} = \frac{40}{0,5} = 80 \, \text{рад/с} \] Теперь подставим в формулу: \[ \omega_d = \sqrt{8 \times 10^9 - 80^2} = \sqrt{8 \times 10^9 - 6400} \approx \sqrt{8 \times 10^9} \approx 89442 \, \text{рад/с} \] Теперь подставим все значения в уравнение: \[ U(t) = 1,6 e^{-\frac{40}{2 \cdot 0,25} t} \cos(89442 t) \] Упрощаем: \[ U(t) = 1,6 e^{-80 t} \cos(89442 t) \] Период колебаний \(T\) можно найти как: \[ T = \frac{2\pi}{\omega_d} \approx \frac{2\pi}{89442} \approx 7,03 \times 10^{-5} \, \text{с} \] Теперь находим время через 4 периода: \[ t = 4T \approx 4 \cdot 7,03 \times 10^{-5} \approx 2,812 \times 10^{-4} \, \text{с} \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ U(4T) = 1,6 e^{-80 \cdot 2,812 \times 10^{-4}} \cos(89442 \cdot 2,812 \times 10^{-4}) \] Вычислим: \[ U(4T) \approx 1,6 e^{-0,0225} \cos(251.3) \approx 1,6 \cdot 0,977 \cdot (-0,031) \approx -0,049 \, \text{В} \] Энергия в контуре определяется как: \[ E = \frac{1}{2} C U^2 \] Начальная энергия: \[ E_0 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \cdot (1,6)^2 \approx 6,4 \times 10^{-7} \, \text{Дж} \] Энергия через 4 периода: \[ E(4T) = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \times 10^{-6} \cdot (0,049)^2 \approx 1,2 \times 10^{-9} \, \text{Дж} \] Теперь найдем, во сколько раз изменилась энергия: \[ \frac{E_0}{E(4T)} \approx \frac{6,4 \times 10^{-7}}{1,2 \times 10^{-9}} \approx 533,33 \] График можно построить, используя уравнение: \[ U(t) = 1,6 e^{-80 t} \cos(89442 t) \] Для построения графика можно использовать программное обеспечение для построения графиков, например, Python с библиотеками Matplotlib и NumPy. Электрический колебательный контур можно изобразить следующим образом: Где: - [C] — конденсатор, - [L] — катушка индуктивности, - [R] — сопротивление. 1. Уравнение колебаний: \( U(t) = 1,6 e^{-80 t} \cos(89442 t) \) 2. Напряжение через 4 периода: \( U(4T) \approx -0,049 \, \text{В} \) 3. Изменение энергии: энергия уменьшилась в 533,33 раза.