Линейный осциллятор массы m, частоты ω в момент времени t = 0 находится в состоянии, описываемом волновой функцией ψ(x) = C (xψ1(x) + ψ3(x)), где ψ1(x) и ψ3(x) — волновые функции стационарных состояний осциллятора с квантовыми числами n = 1 и n = 3,

Добавлена: 07.09.2026
Обновлена: 07.09.2026
Предмет: Физика
Автор: Кэмп

#Физика колебаний и волн
#Квантовая механика

Условие:

Линейный осциллятор массы m, частоты ω в момент времени t = 0 находится в состоянии, описываемом волновой функцией ψ(x) = C (xψ1(x) + ψ3(x)), где ψ1(x) и ψ3(x) — волновые функции стационарных состояний осциллятора с квантовыми числами n = 1 и n = 3, соответственно. Найти среднюю энергию осциллятора и hx(t)i.

Решение:

Дано

Система: линейный гармонический осциллятор массы $m$ и частоты $\omega$ .
Волновая функция в начальный момент времени $t=0$ :
$\psi(x, 0) = C \left( \psi_1(x) + \psi_3(x) \right)$
где $\psi_1$ и $\psi_3$ — собственные функции гамильтониана с энергиями $E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)$ .

Найти

Среднюю энергию осциллятора $\langle E \rangle$ .
Среднее значение координаты $\langle x(t) \rangle$ .

Решение

1. Нормировка волновой функции

Сначала найдем константу $C$ . Условие нормировки: $\int |\psi|^2 dx = 1$ . Так как собственные фун...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство оператора координаты $x$ для линейного гармонического осциллятора приводит к тому, что матричный элемент $\langle n | x | m \rangle$ отличен от нуля только при $m = n \pm 1$?

Оператор координаты $x$ является эрмитовым.

Оператор координаты $x$ может быть выражен через операторы рождения и уничтожения, которые изменяют квантовое число на единицу.

Собственные функции гармонического осциллятора ортогональны.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Волновая функция стационарных состояний линейного гармонического осциллятора $\psi_n(x)$ является собственной функцией оператора энергии (гамильтониана) с собственными значениями $E_n = \hbar \omega (n + 1/2)$ , где $n = 0, 1, 2, \dots$ — квантовое число.
Принцип суперпозиции состояний утверждает, что если система может находиться в нескольких состояниях, то она может находиться и в их линейной комбинации. Если волновая функция системы является суперпозицией стационарных состояний $\psi(x, t) = \sum_n c_n \psi_n(x) e^{-iE_n t / \hbar}$ , то среднее значение энергии определяется как $\langle E \rangle = \sum_n |c_n|^2 E_n$ .
Коэффициенты $c_n$ в разложении волновой функции по стационарным состояниям определяются из начальных условий и должны удовлетворять условию нормировки $\sum_n |c_n|^2 = 1$ .
Среднее значение наблюдаемой величины $A$ (представляемой оператором $\hat{A}$ ) в состоянии $\psi(x, t)$ вычисляется как $\langle A \rangle = \int \psi^*(x, t) \hat{A} \psi(x, t) dx$ .
Для линейного гармонического осциллятора оператор координаты $\hat{x}$ имеет ненулевые матричные элементы только между состояниями с квантовыми числами $n$ и $n \pm 1$ . То есть, $\langle n | \hat{x} | m \rangle \neq 0$ только если $m = n \pm 1$ .