Условие:
Линза, фокусное расстояние которой 15 см, дает на экране изображение предмета с пятикратным увеличением. Экран придвинули к линзе вдоль её главной оптической оси на 30 см. Затем при неизменном положении линзы передвинули предмет так, чтобы его изображение на экране снова стало резким. На какое расстояние сдвинули предмет относительно его первоначального положения? Сделайте рисунок построения изображений в линзе с указанием хода лучей.
Решение:
Для решения задачи начнем с анализа условий. У нас есть линза с фокусным расстоянием \( f = 15 \) см и и...
Увеличение линзы определяется формулой: \[ K = \frac{h}{h} = \frac{v}{u} \] где: - \( h \) — высота изображения, - \( h \) — высота предмета, - \( v \) — расстояние от линзы до изображения, - \( u \) — расстояние от линзы до предмета. Из формулы увеличения можно выразить \( v \): \[ v = K \cdot u \] Подставим \( K = 5 \): \[ v = 5u \] Формула тонкой линзы: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \] Подставим \( v = 5u \): \[ \frac{1}{15} = \frac{1}{u} + \frac{1}{5u} \] Объединим дроби: \[ \frac{1}{15} = \frac{5 + 1}{5u} = \frac{6}{5u} \] Теперь выразим \( u \): \[ \frac{6}{5u} = \frac{1}{15} \implies 6 \cdot 15 = 5u \implies 90 = 5u \implies u = 18 \text{ см} \] Теперь найдем \( v \): \[ v = 5u = 5 \cdot 18 = 90 \text{ см} \] Экран был придвинут к линзе на 30 см, значит новое расстояние до изображения: \[ v = v - 30 = 90 - 30 = 60 \text{ см} \] Теперь нужно найти новое расстояние \( u \) от линзы до предмета, используя ту же формулу тонкой линзы: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \] Подставим известные значения: \[ \frac{1}{15} = \frac{1}{u} + \frac{1}{60} \] Объединим дроби: \[ \frac{1}{u} = \frac{1}{15} - \frac{1}{60} \] Найдем общий знаменатель (60): \[ \frac{1}{u} = \frac{4}{60} - \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \] Теперь выразим \( u \): \[ u = 20 \text{ см} \] Первоначальное положение предмета было на расстоянии \( u = 18 \) см, а новое положение \( u = 20 \) см. Найдем, на какое расстояние сдвинулся предмет: \[ \Delta u = u - u = 20 - 18 = 2 \text{ см} \] Предмет сдвинули на 2 см относительно его первоначального положения. На рисунке можно изобразить линзу, предмет, экран и лучи, проходящие через линзу. Лучи, проходящие через фокус, будут выходить параллельно главной оптической оси, а лучи, идущие параллельно, будут проходить через фокус после преломления. Таким образом, мы получили решение задачи и определили, что предмет сдвинули на 2 см.