Для решения задачи будем использовать уравнение теплопередачи и закон охлаждения Ньютона.
Данные:
- Толщина листа титана \( L = 0,6 \, \text{м} \)
- Начальная температура \( T_0 = 400 \, \text{°C} \)
- Температура окружающей среды \( T_{\infty} = 20 \, \text{°C} \)
- Коэффициент теплоотдачи \( h = 5400 \, \text{Вт/(м}^2\text{К)} \)
- Коэффициент теплопроводности \( k = 15,1 \, \text{Вт/(мК)} \)
- Теплоемкость \( c = 532 \, \text{Дж/(кг К)} \)
- Плотность \( \rho = 4540 \, \text{кг/м}^3 \)
Шаг 1: Определение времени охлажд...
Сначала найдем массу листа титана:
\[
V = L \cdot A \quad (\text{где } A \text{ - площадь})
\]
\[
m = \rho \cdot V = \rho \cdot (L \cdot A) = 4540 \cdot (0,6 \cdot A) = 2724 \cdot A \, \text{кг}
\]
Общая теплоемкость \( C \) листа:
\[
C = m \cdot c = (2724 \cdot A) \cdot 532 = 1452008 \cdot A \, \text{Дж/К}
\]
Используем закон охлаждения Ньютона:
\[
\frac{dT}{dt} = -\frac{h}{C} (T - T_{\infty})
\]
Решим это уравнение, используя метод разделения переменных:
\[
\int \frac{1}{T - T_{\infty}} dT = -\frac{h}{C} \int dt
\]
\[
\ln |T - T1
\]
\[
T - T2 e^{-\frac{h}{C} t}
\]
где \( C1} \).
При \( t = 0 \), \( T = T_0 \):
\[
T{\infty} = C2 = T{\infty} = 400 - 20 = 380 \, \text{°C}
\]
Таким образом, у нас есть:
\[
T - T_{\infty} = 380 e^{-\frac{h}{C} t}
\]
Теперь подставим значения:
\[
C = 1452008 \cdot A
\]
\[
\frac{h}{C} = \frac{5400}{1452008 \cdot A}
\]
Для \( t = 5 \, \text{мин} = 300 \, \text{с} \):
\[
T(300) = 20 + 380 e^{-\frac{5400}{1452008 \cdot A} \cdot 300}
\]
Для \( t = 10 \, \text{мин} = 600 \, \text{с} \):
\[
T(600) = 20 + 380 e^{-\frac{5400}{1452008 \cdot A} \cdot 600}
\]
Поскольку \( A \) не задано, мы можем оценить, что при больших значениях \( A \) (например, 1 м²):
- Для \( t = 300 \, \text{с} \) и \( t = 600 \, \text{с} \) можно подставить и вычислить.
Таким образом, для получения точных значений температуры на поверхности листа титана через 5 и 10 минут, необходимо подставить значение площади \( A \) и выполнить вычисления.
