Материальная точка совершает гармонические колебания по закону: (м) x(t)=0,40 cos(8xt - 3(A) 1) Определите амплитуду 4, частоту, период 7 колебаний 2) Определите координату х в момент времени 1=5 с 3) Найдите длину математического маятника с условнем

Давайте решим каждую из поставленных задач по порядку.

1) Определите амплитуду, частоту и период колебаний

Дано уравнение колебаний:
\[ x(t) = 0,40 \cos(8\pi t - 3) \]

- Амплитуд...: Это максимальное отклонение от равновесного положения, которое в данном случае равно 0,40 м. - : Частота связана с угловой частотой (ω) по формуле: \[ f = \frac{\omega}{2\pi} \] Здесь \(\omega = 8\pi\), следовательно: \[ f = \frac{8\pi}{2\pi} = 4 \text{ Гц} \] - : Период колебаний связан с частотой по формуле: \[ T = \frac{1}{f} \] Подставляем значение частоты: \[ T = \frac{1}{4} = 0,25 \text{ с} \] Подставим \( t = 5 \) в уравнение колебаний: \[ x(5) = 0,40 \cos(8\pi \cdot 5 - 3) \] \[ x(5) = 0,40 \cos(40\pi - 3) \] Поскольку \( \cos(40\pi - 3) = \cos(-3) \) (период косинуса равен \( 2\pi \)): \[ x(5) = 0,40 \cos(-3) \] Теперь вычислим \( \cos(-3) \): \[ x(5) \approx 0,40 \cdot (-0,98999) \approx -0,396 \text{ м} \] Длина математического маятника (L) связана с периодом (T) по формуле: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \] где \( g \approx 9,81 \text{ м/с}^2 \). Решим уравнение для L: \[ L = \frac{gT^2}{4\pi^2} \] Подставим \( T = 0,25 \): \[ L = \frac{9,81 \cdot (0,25)^2}{4\pi^2} \] \[ L = \frac{9,81 \cdot 0,0625}{39,478} \approx 0,0156 \text{ м} \] Для пружинного маятника период колебаний (T) также можно выразить через массу (m) и жесткость (k): \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] Из этого уравнения выразим массу: \[ m = \frac{kT^2}{4\pi^2} \] Подставим \( k = 0,4 \) Н/м и \( T = 0,25 \): \[ m = \frac{0,4 \cdot (0,25)^2}{4\pi^2} \] \[ m = \frac{0,4 \cdot 0,0625}{39,478} \approx 0,000635 \text{ кг} \] Для колебательного контура, состоящего из индуктивности (L) и ёмкости (C), период колебаний (T) связан с ними по формуле: \[ T = 2\pi \sqrt{LC} \] Из этого уравнения выразим индуктивность: \[ L = \frac{T^2}{4\pi^2 C} \] Для начала найдем период T. Если не указано, предположим, что T = 1 с (можно взять любое значение для примера): \[ L = \frac{1^2}{4\pi^2 \cdot 2 \times 10^{-3}} \] \[ L = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 0,002} \approx 39,788 \text{ Гн} \] Таким образом, мы получили все необходимые результаты по каждому из пунктов.