Модель инфляции. Рассмотреть инфляцию на скалярном поле с потенциалом где параметр имеет размерность массы, а безразмерен. Получить предсказания для амплитуд и наклонов спектров скалярных и тензорных возмущений. Найти в литературе современные ограничения

Ниже приведён подробный поэтапный разбор задачи и получение ответов для спектральных параметров в модели инфляции с потенциалом

  V(φ) = Λ⁴ · th²(α φ/Mₚ),

где Λ – параметр с размерностью массы, α – безразмерный параметр, а Mₚ – планковская масса (обозначается ещё как M_Pl).

Мы будем действовать в рамках приближения медленного спуска («slow–roll»). В общем случае для инфляционной модели вводят два стандартных параметра замедления

  ε = (Mₚ²/2) (V′/V)²  и  η = Mₚ² (V″/V).

При этом предсказания для скалярного спектра (spectral index nₛ) и тензорного спектра (tensor-to–scalar ratio r, тензорный наклон nₜ) выражаются как

  nₛ = 1 – 6ε + 2η,
  r = 16 ε       nₜ = –2ε.

Наша цель – найти выражения для ε и η, а затем переписать nₛ и r через параметры модели и число э–фолдов N (так как величины в предсказаниях удобно выражать через N, обычно N ≃ 50–60).

─────────────────────────────
Шаг 1. Введение безразмерной переменной

Для компактности вводим безразмерную переменную
  x = α φ/Mₚ.

Тогда потенциал выглядит как

  V(x) = Λ⁴ · th²(x).

─────────────────────────────
Шаг 2. Производная потенциала

Найдём первую производную по φ. Сначала запишем производную по x, затем учтём, что
  dφ = (Mₚ/α) dx.

Поскольку
  d/dx [th(x)] = 1/ch²(x)
(где ch(x) ≡ cosh(x)), имеем

  d/dx [th²(x)] = 2 th(x)· [1/ch²(x)].

Следовательно,
  V′(φ) = dV/dφ = (dV/dx)·(dx/dφ) = Λ⁴ · 2 th(x)/ch²(x) · (α/Mₚ),
или
  V′(φ) = (2α Λ⁴/Mₚ) · [th(x)/ch²(x)].

─────────────────────────────
Шаг 3. Параметр ε

Напоминаем, что
  ε = (Mₚ²/2) (V′/V)².

Подставляем найденные V и V′:
  V = Λ⁴ · th²(x),
  V′ = (2α Λ⁴/Mₚ) [th(x)/ch²(x)].
Тогда отношение
  V′/V = (2α/Mₚ) · [th(x)/ch²(x)] / [th²(x)] = (2α/Mₚ) · 1/[th(x)·ch²(x)].
Таким образом,
  ε = (Mₚ²/2) · (2α/Mₚ)² · 1/[th²(x)·ch⁴(x)]
    = (Mₚ²/2) · (4α²/Mₚ²) · 1/[th²(x) ch⁴(x)]
    = 2α² / [th²(x) ch⁴(x)].

Для удобства удобно переписать через гиперболические функции sinh и cosh. Помним, что
  th(x) = sinh(x)/cosh(x) ⇒ th²(x) = sinh²(x)/cosh²(x).
Подставим это в выражение для ε:
  ε = 2α² / [(sinh²(x)/cosh²(x)) ch⁴(x)]
    = 2α² cosh²(x)/[sinh²(x) ch⁴(x)]
    = 2α² / [sinh²(x) ch²(x)].

Итого получаем окончательное выражение:
  ε = 2α² / [sinh²(x) · cosh²(x)].

─────────────────────────────
Шаг 4. Вторая производная потенциала и параметр η

Найдём вторую производную V″. Напомним, что
  V′(φ) = (2α Λ⁴/Mₚ) · f(x), где f(x) = th(x)/ch²(x) = sinh(x)/[cosh³(x)].
Взяв производную f(x) по x:
  f′(x) = d/dx [sinh(x)/cosh³(x)].
Используем правило дифференцирования (или записываем через правило частного). Можно показать, что
  f′(x) = cosh⁻²(x) – 3 sinh²(x)/cosh⁴(x).
Теперь, учитывая, что dφ/dx = Mₚ/α, получаем
  V″(φ) = d/dφ [V′(φ)] = (2α Λ⁴/Mₚ) · (df/dx) · (dx/dφ)
    = (2α Λ⁴/Mₚ) · f′(x) · (α/Mₚ)
    = 2Λ⁴ (α/Mₚ)² [cosh⁻²(x) – 3 sinh²(x)/cosh⁴(x)].
Далее
  η = Mₚ² (V″/V)
    = Mₚ² · {2Λ⁴ (α/Mₚ)² [cosh⁻²(x) – 3 sinh²(x)/cosh⁴(x)] / [Λ⁴ th²(x)]}
    = 2α² / [th²(x)] · [cosh⁻²(x) – 3 sinh²(x)/cosh⁴(x)].

Чтобы привести η к более удобному виду, выразим th²(x) через sinh и cosh:
  th²(x) = sinh²(x)/cosh²(x),
откуда
  η = 2α² cosh²(x)/[sinh²(x)] · [1/cosh²(x) – 3 sinh²(x)/cosh⁴(x)]
    = 2α² / sinh²(x) · [1 – 3 sinh²(x)/cosh²(x)].
Или можно записать окончательно:
  η = (2α² / sinh²(x)) · (1 – 3 tanh²(x)),
так как tanh²(x) = sinh²(x)/cosh²(x).

─────────────────────────────
Шаг 5. Спектральные параметры

Предсказания для спектрального индекса и тензорного отношения записываются как
  nₛ = 1 – 6ε + 2η  и  r = 16ε,  nₜ = –2ε.

Таким образом, модель предсказывает
  nₛ = 1 – 6·[2α²/(sinh²(x) cosh²(x)] + 2·{[2α²/sinh²(x)] [1 – 3 tanh²(x)]},
  r = 16·[2α²/(sinh²(x) cosh²(x)] = 32α²/(sinh²(x) cosh²(x)).

Для сравнения с данными удобно выразить результаты через число э–фолдов N (например, N ≃ 50–60).

─────────────────────────────
Шаг 6. Связь с числом э–фолдов N

Число э–фолдов определяется интегралом
  N = (1/Mₚ²) ∫[φ_...