На большое гладкое кольцо радиусом R, расположенное в вертикальной плоскости, надето маленькое колечко, которое может скользить по кольцу без трения. В верхней точке кольца колечку придали некоторую скорость, так что в некоторый момент движения сила

Для решения задачи будем использовать законы механики и уравнения движения.

Часть а) Найдем ско...

1. : В верхней точке кольца на колечко действуют две силы: его вес \( mg \) (вниз) и центростремительная сила \( N \) (вверх). В верхней точке колечко движется по окружности радиусом \( R \). Уравнение движения в верхней точке: \[ N + mg = \frac{mv^2}{R} \] где \( N \) — сила реакции, \( m \) — масса колечка, \( v \) — скорость в верхней точке. Если в верхней точке колечку придали скорость \( v_0 \), то у нас: \[ N = 0 \implies mg = \frac{mv_0^2}{R} \] Отсюда: \[ g = \frac{v0^2 = gR \implies v_0 = \sqrt{gR} \] Скорость колечка в верхней точке: \[ v_0 = \sqrt{gR} \] 2. : Пусть колечко находится на высоте \( h \) от нижней точки. В этой точке на колечко действуют вес \( mg \) и сила реакции \( N \). На высоте \( h \) от нижней точки, радиус окружности, по которой движется колечко, равен \( R \), а высота \( h \) связана с углом \( \theta \) (угол между вертикалью и радиусом, проведенным к колечку): \[ h = R(1 - \cos \theta) \] Уравнение движения в произвольной точке: \[ N + mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R} \] Когда сила реакции \( N = 0 \): \[ mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R} \] Используя закон сохранения энергии, мы можем записать: \[ \frac{1}{2}mv^2 + mg(R - h) = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgR \] Подставим \( v_0 = \sqrt{gR} \): \[ \frac{1}{2}mv^2 + mg(R - h) = \frac{1}{2}m(gR) + mgR \] Упростим: \[ \frac{1}{2}mv^2 + mg(R - h) = \frac{3}{2}mgR \] Отсюда: \[ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}mgR - mg(R - h) \] \[ \frac{1}{2}mv^2 = mgR + mgh \] \[ v^2 = 2gR + 2gh \] Подставим это в уравнение для силы реакции: \[ mg \cos \theta = \frac{m(2gR + 2gh)}{R} \] Упростим: \[ g \cos \theta = \frac{2gR + 2gh}{R} \] \[ \cos \theta = \frac{2 + 2\frac{h}{R}}{1} \] Мы знаем, что в нижней точке \( N = 7mg \): \[ 7mg + mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R} \] Подставим \( v^2 \): \[ 7mg + mg \cos \theta = \frac{m(2gR + 2gh)}{R} \] Упростим: \[ 7 + \cos \theta = \frac{2 + 2\frac{h}{R}}{1} \] Теперь, чтобы найти \( h \), нам нужно решить это уравнение. Мы знаем, что \( \cos \theta \) может принимать значения от -1 до 1, и подставив это в уравнение, мы можем найти \( h \). После подстановки и упрощения, мы можем найти \( h \) как: \[ h = \frac{R}{2} \] Расстояние по высоте от верхней точки до места, где сила реакции нулевая: \[ h = \frac{R}{2} \]