Условие:
Небольшая шайба массой m скользит по желобу, переходящему в окружность радиусом r. Начальная высота шайбы H = 2r. Сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь. Обозначим h ввсоту, на которой шайба оторвется от желоба.
б) запишите уравнение выражающее закон сохранения энергии в механике при переходе шайбы из начального положения в точку, где происходит отрыв шайбы от желоба. Обозначьте v скорость шайбы в этот момент.
в)запишите в проекциях на ось x уравнение второго закона Ньютона для шайбы в момент отрыва от желоба. Ось x направьте из положения шайбы к центру окружности.
г) найдите выражение для высоты h, на которой швйба оторветчя от желоба.
Решение:
Для решения задачи, давайте последовательно разберем каждый ...
В начальный момент шайба находится на высоте \( H = 2r \) и имеет потенциальную энергию, равную \( mgh \), где \( g \) — ускорение свободного падения. В момент отрыва шайбы от желоба, она будет находиться на высоте \( h \) и иметь как потенциальную, так и кинетическую энергию. Запишем закон сохранения механической энергии: \[ E{\text{кон}} \] Начальная энергия: \[ E{\text{нач}} = mgH = mg(2r) \] Конечная энергия (в момент отрыва): \[ E_{\text{кон}} = mgh + \frac{1}{2}mv^2 \] Приравняем начальную и конечную энергии: \[ mg(2r) = mgh + \frac{1}{2}mv^2 \] Сократим на \( m \) (при условии, что \( m \neq 0 \)): \[ g(2r) = gh + \frac{1}{2}v^2 \] В момент отрыва шайбы от желоба на неё действуют две силы: сила тяжести \( mg \) и центростремительное ускорение, которое необходимо для движения по окружности. В проекциях на ось \( x \) (направленную к центру окружности) у нас есть: - Сила тяжести по вертикали: \( mg \) - Центростремительное ускорение: \( \frac{mv^2}{r} \) На момент отрыва шайба не испытывает центростремительного ускорения, так как она покидает желоб. Таким образом, уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось \( x \) будет выглядеть следующим образом: \[ mg \sin(\theta) = \frac{mv^2}{r} \] где \( \theta \) — угол между вертикалью и радиусом в момент отрыва. Из уравнения сохранения энергии мы можем выразить \( v^2 \): \[ v^2 = 2g(2r - h) \] Подставим это значение в уравнение второго закона Ньютона: \[ mg \sin(\theta) = \frac{m(2g(2r - h))}{r} \] Сократим на \( m \): \[ g \sin(\theta) = \frac{2g(2r - h)}{r} \] Сократим на \( g \) (при условии, что \( g \neq 0 \)): \[ \sin(\theta) = \frac{2(2r - h)}{r} \] Теперь, чтобы найти высоту \( h \), нужно знать угол \( \theta \). В момент отрыва шайба будет находиться на некоторой высоте \( h \) и радиусе \( r \). Мы можем выразить \( \sin(\theta) \) через высоту: \[ \sin(\theta) = \frac{h}{r} \] Теперь подставим это в уравнение: \[ \frac{h}{r} = \frac{2(2r - h)}{r} \] Умножим обе стороны на \( r \): \[ h = 2(2r - h) \] Раскроем скобки: \[ h = 4r - 2h \] Переносим все \( h \) в одну сторону: \[ h + 2h = 4r \] \[ 3h = 4r \] Теперь выразим \( h \): \[ h = \frac{4r}{3} \] Таким образом, высота, на которой шайба оторвется от желоба, равна: \[ h = \frac{4r}{3} \]