Небольшая шайба массой m скользит по желобу, переходящему в окружность радиусом r. Начальная высота шайбы H = 2r. Сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь. Обозначим h ввсоту, на которой шайба оторвется от желоба. б) запишите уравнение выражающее

Для решения задачи, давайте последовательно разберем каждый ...

В начальный момент шайба находится на высоте $H = 2r$ и имеет потенциальную энергию, равную $mgh$, где $g$ — ускорение свободного падения. В момент отрыва шайбы от желоба, она будет находиться на высоте $h$ и иметь как потенциальную, так и кинетическую энергию.

Запишем закон сохранения механической энергии:

$$E{\text{кон}}$$

Начальная энергия:

$$E{\text{нач}} = mgH = mg(2r)$$

Конечная энергия (в момент отрыва):

$$E_{\text{кон}} = mgh + \frac{1}{2}mv^2$$

Приравняем начальную и конечную энергии:

$$mg(2r) = mgh + \frac{1}{2}mv^2$$

Сократим на $m$ (при условии, что $m \neq 0$):

$$g(2r) = gh + \frac{1}{2}v^2$$

В момент отрыва шайбы от желоба на неё действуют две силы: сила тяжести $mg$ и центростремительное ускорение, которое необходимо для движения по окружности. В проекциях на ось $x$ (направленную к центру окружности) у нас есть:

• Сила тяжести по вертикали: $mg$
• Центростремительное ускорение: $\frac{mv^2}{r}$

На момент отрыва шайба не испытывает центростремительного ускорения, так как она покидает желоб. Таким образом, уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось $x$ будет выглядеть следующим образом:

$$mg \sin(\theta) = \frac{mv^2}{r}$$

где $\theta$ — угол между вертикалью и радиусом в момент отрыва.

Из уравнения сохранения энергии мы можем выразить $v^2$:

$$v^2 = 2g(2r - h)$$

Подставим это значение в уравнение второго закона Ньютона:

$$mg \sin(\theta) = \frac{m(2g(2r - h))}{r}$$

Сократим на $m$:

$$g \sin(\theta) = \frac{2g(2r - h)}{r}$$

Сократим на $g$ (при условии, что $g \neq 0$):

$$\sin(\theta) = \frac{2(2r - h)}{r}$$

Теперь, чтобы найти высоту $h$, нужно знать угол $\theta$. В момент отрыва шайба будет находиться на некоторой высоте $h$ и радиусе $r$. Мы можем выразить $\sin(\theta)$ через высоту:

$$\sin(\theta) = \frac{h}{r}$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$\frac{h}{r} = \frac{2(2r - h)}{r}$$

Умножим обе стороны на $r$:

$$h = 2(2r - h)$$

Раскроем скобки:

$$h = 4r - 2h$$

Переносим все $h$ в одну сторону:

$$h + 2h = 4r$$

$$3h = 4r$$

Теперь выразим $h$:

$$h = \frac{4r}{3}$$

Таким образом, высота, на которой шайба оторвется от желоба, равна:

$$h = \frac{4r}{3}$$