Задание № 1 Уровень ЕГЭ Однородный брусок A B массой M постоянного прямоугольного сечения лежит на гладкой горизонтальной поверхности стола, свешиваясь с него менее чем наполовину (см. рисунок). К правому концу бруска прикреплена легкая нерастяжимая нить.

Для решения задачи начнем с анализа системы и сил, действующих на брусок $A B$, блок и груз $m$.

Шаг...

На брусок $A B$ действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $Mg$ (вниз).
2. Нормальная сила $N$ (вверх, от стола).
3. Тension $T$ (вправо, от нити, прикрепленной к бруску).

На груз $m$ действуют:

1. Сила тяжести $mg$ (вниз).
2. Тension $T$ (вверх, от нити, соединяющей груз и блок).

Для того чтобы система оставалась неподвижной, необходимо, чтобы сумма сил на каждом из тел была равна нулю.

$$T = mg$$

где $m = 1$ кг, следовательно:

$$T = 1 \cdot g = g$$

Система будет в равновесии, если момент сил относительно точки опоры (точка, где брусок касается стола) будет равен нулю.

Пусть длина бруска $L$. Так как брусок свешивается менее чем наполовину, то его центр масс находится на расстоянии $x$ от края стола, где $x \frac{L}{2}$.

Момент силы тяжести относительно точки опоры:

$$M \cdot g \cdot \left(\frac{L}{2} - x\right)$$

Момент силы натяжения $T$:

$$T \cdot h$$

где $h$ — расстояние от точки опоры до точки, где натяжение действует (это будет равно $R + r$, так как блок поднимает груз).

Для равновесия моментов:

$$M \cdot g \cdot \left(\frac{L}{2} - x\right) = T \cdot (R + r)$$

Подставим $T = g$:

$$M \cdot g \cdot \left(\frac{L}{2} - x\right) = g \cdot (R + r)$$

Убираем $g$ из уравнения (при $g \neq 0$):

$$M \cdot \left(\frac{L}{2} - x\right) = R + r$$

Подставим значения радиусов:

• $R = 10$ см = 0.1 м
• $r = 5$ см = 0.05 м

Итак, у нас:

$$M \cdot \left(\frac{L}{2} - x\right) = 0.1 + 0.05 = 0.15$$

Теперь, чтобы найти минимальное значение $M$, необходимо знать $\left(\frac{L}{2} - x\right)$. Поскольку $x \frac{L}{2}$, мы можем взять $\left(\frac{L}{2} - x\right)$ равным как можно меньшему значению, но не равным нулю. Для простоты, пусть $\left(\frac{L}{2} - x\right) = d$, где $d$ — это небольшое положительное значение.

Тогда:

$$M = \frac{0.15}{d}$$

Минимальное значение $M$ будет стремиться к бесконечности, если $d$ стремится к нулю. Однако, для практических целей, если мы примем $d$ за малое, но конечное значение, например, $d = 0.01$ м, то:

$$M = \frac{0.15}{0.01} = 15 \text{ кг}$$

Таким образом, минимальное значение массы бруска $M$ для равновесия системы составляет 15 кг, если $d$ будет выбрано равным 0.01 м.