Получить приближенное значение энергии основного состояния трехмерного изотропного осциллятора вариационным методом, используя пробную функцию вида , где - вариационный параметр. Сравнить с точным значением.

Добавлена: 09.05.2026
Обновлена: 09.05.2026
Предмет: Физика
Автор: Кэмп

#Квантовая механика
#Теоретическая астрофизика

Получить приближенное значение энергии основного состояния трехмерного изотропного осциллятора вариационным методом, используя пробную функцию вида , где - вариационный параметр. Сравнить с точным значением.

Условие:

Получить приближенное значение энергии основного состояния трехмерного изотропного осциллятора $U=\frac{k r^{2}}{2}$ вариационным методом, используя пробную функцию вида $\Psi(r)=C e^{-\alpha r}$ , где $\alpha$ - вариационный параметр. Сравнить с точным значением.

Решение:

Определение пробной функции: Мы используем пробную функцию вида
$\Psi(r) = C e^{-\alpha r}$
где $C$ — нормировочная константа, а $\alpha$ — вариационный параметр.
Нормировка пробной функции: Для нормировки функции $\Psi(r)$ необходимо вычислить интеграл:
$\int_{0}^{\infty} |\Psi(r)|^2 r^2 dr = 1$
Подставляем пробную функцию:
$\int_{0}^{\infty} |C|^2 e^{-2\alpha r} r^2 dr = 1$
Выносим $|C|^2$ :
$|C|^2 \int_{0}^{\infty} e^{-2\alpha r} r^2 dr = 1$
Интеграл можно вычислить с помощью формулы для интеграла...