Вариант 5. 1. Потенциал электрического поля имеет вид ф=a(xy - z2) , где a - постоянная. Найти проекцию напряженности электрического поля в точке A(2, 1, -3) на направление вектора a = i + 3j.

Для решения задачи нам необходимо найти проекцию напряженности электрического поля в точке A(2, 1, -3) на направление вектора \( \mathbf{a} = \m...

Напряженность электрического поля \( \mathbf{E} \) связана с потенциалом \( \phi \) следующим образом: \[ \mathbf{E} = -\nabla \phi \] Где \( \nabla \) - оператор градиента. Потенциал электрического поля задан как: \[ \phi = a(xy - z^2) \] Вычислим градиент \( \nabla \phi \): \[ \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right) \] Теперь найдем частные производные: 1. \( \frac{\partial \phi}{\partial x} = a(y) \) 2. \( \frac{\partial \phi}{\partial y} = a(x) \) 3. \( \frac{\partial \phi}{\partial z} = -2a(z) \) Таким образом, градиент будет равен: \[ \nabla \phi = (ay, ax, -2az) \] Теперь подставим координаты точки A(2, 1, -3): - \( x = 2 \) - \( y = 1 \) - \( z = -3 \) Тогда: 1. \( \frac{\partial \phi}{\partial x} = a(1) = a \) 2. \( \frac{\partial \phi}{\partial y} = a(2) = 2a \) 3. \( \frac{\partial \phi}{\partial z} = -2a(-3) = 6a \) Таким образом, градиент в точке A будет: \[ \nabla \phi = (a, 2a, 6a) \] Теперь, используя формулу для напряженности электрического поля: \[ \mathbf{E} = -\nabla \phi = (-a, -2a, -6a) \] Проекция вектора \( \mathbf{E} \) на вектор \( \mathbf{a} \) вычисляется по формуле: \[ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{E} = \frac{\mathbf{E} \cdot \mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|^2} \mathbf{a} \] Сначала найдем скалярное произведение \( \mathbf{E} \cdot \mathbf{a} \): \[ \mathbf{E} \cdot \mathbf{a} = (-a, -2a, -6a) \cdot (1, 3, 0) = -a \cdot 1 - 2a \cdot 3 = -a - 6a = -7a \] Теперь найдем квадрат нормы вектора \( \mathbf{a} \): \[ \|\mathbf{a}\|^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \] Теперь подставим в формулу проекции: \[ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{E} = \frac{-7a}{10} \mathbf{a} = \frac{-7a}{10} (1, 3, 0) = \left( \frac{-7a}{10}, \frac{-21a}{10}, 0 \right) \] Проекция на направление вектора \( \mathbf{a} \) будет равна: \[ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{E} = \frac{-7a}{10} \] Таким образом, проекция напряженности электрического поля в точке A(2, 1, -3) на направление вектора \( \mathbf{a} \) равна: \[ \frac{-7a}{10} \] Это и есть окончательный ответ.