Вариант 5. 1. Потенциал электрического поля имеет вид ф=a(xy - z2) , где a - постоянная. Найти проекцию напряженности электрического поля в точке A(2, 1, -3) на направление вектора a = i + 3j.

Для решения задачи нам необходимо найти проекцию напряженности электрического поля в точке A(2, 1, -3) на направление вектора $\mathbf{a} = \m...

Напряженность электрического поля $\mathbf{E}$ связана с потенциалом $\phi$ следующим образом:

$$\mathbf{E} = -\nabla \phi$$

Где $\nabla$ - оператор градиента. Потенциал электрического поля задан как:

$$\phi = a(xy - z^2)$$

Вычислим градиент $\nabla \phi$:

$$\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$$

Теперь найдем частные производные:

1. $\frac{\partial \phi}{\partial x} = a(y)$
2. $\frac{\partial \phi}{\partial y} = a(x)$
3. $\frac{\partial \phi}{\partial z} = -2a(z)$

Таким образом, градиент будет равен:

$$\nabla \phi = (ay, ax, -2az)$$

Теперь подставим координаты точки A(2, 1, -3):

• $x = 2$
• $y = 1$
• $z = -3$

Тогда:

1. $\frac{\partial \phi}{\partial x} = a(1) = a$
2. $\frac{\partial \phi}{\partial y} = a(2) = 2a$
3. $\frac{\partial \phi}{\partial z} = -2a(-3) = 6a$

Таким образом, градиент в точке A будет:

$$\nabla \phi = (a, 2a, 6a)$$

Теперь, используя формулу для напряженности электрического поля:

$$\mathbf{E} = -\nabla \phi = (-a, -2a, -6a)$$

Проекция вектора $\mathbf{E}$ на вектор $\mathbf{a}$ вычисляется по формуле:

$$\text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{E} = \frac{\mathbf{E} \cdot \mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|^2} \mathbf{a}$$

Сначала найдем скалярное произведение $\mathbf{E} \cdot \mathbf{a}$:

$$\mathbf{E} \cdot \mathbf{a} = (-a, -2a, -6a) \cdot (1, 3, 0) = -a \cdot 1 - 2a \cdot 3 = -a - 6a = -7a$$

Теперь найдем квадрат нормы вектора $\mathbf{a}$:

$$\|\mathbf{a}\|^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$$

Теперь подставим в формулу проекции:

$$\text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{E} = \frac{-7a}{10} \mathbf{a} = \frac{-7a}{10} (1, 3, 0) = \left( \frac{-7a}{10}, \frac{-21a}{10}, 0 \right)$$

Проекция на направление вектора $\mathbf{a}$ будет равна:

$$\text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{E} = \frac{-7a}{10}$$

Таким образом, проекция напряженности электрического поля в точке A(2, 1, -3) на направление вектора $\mathbf{a}$ равна:

$$\frac{-7a}{10}$$

Это и есть окончательный ответ.