Условие:
рассмотрим двухуровневую систему с гамильтонианом, представляющим из себя матрицу 2 на 2 с элементами a11=epsilon1, a12=W, a21 = W*, a22=epsilon2. Считаем W возмущением. При epsilon1 не равным epsilon2 найдите уровни энергии по теории возмущений с учётом первых двух порядков.
Решение:
Для решения задачи о двухуровневой системе с гамильтонианом, представим его в виде матрицы: \[ H = \begin{pmatrix} \epsilon_1 W \\ W^* \epsilon_2 \end{pmatrix} \] где \( \epsilon1 \) и \( \epsilon2 \) - ...
В нулевом порядке (без учета возмущения) собственные значения гамильтониана определяются как: \[ \det(H - E I) = 0 \] где \( I \) - единичная матрица, а \( E \) - собственное значение. Это приводит к следующему уравнению: \[ \det \begin{pmatrix} \epsilon_1 - E W \\ W^* \epsilon_2 - E \end{pmatrix} = 0 \] Вычислим определитель: \[ (\epsilon2 - E) - |W|^2 = 0 \] Раскроем скобки: \[ E^2 - (\epsilon2)E + (\epsilon2 - |W|^2) = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ E1 + \epsilon1 - \epsilon_2)^2 + 4|W|^2}}{2} \] Для нахождения собственных векторов, подставим найденные значения \( E_{1,2}^{(0)} \) в уравнение: \[ \begin{pmatrix} \epsilon_1 - E W \\ W^* \epsilon_2 - E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = 0 \] Решая это уравнение, мы можем найти собственные векторы \( \psi2^{(0)} \). Первый порядок энергии определяется как: \[ En^{(0)} | H | \psi_n^{(0)} \rangle \] где \( H \) - возмущение, в нашем случае это матрица: \[ H = \begin{pmatrix} 0 W \\ W^* 0 \end{pmatrix} \] Подставим собственные векторы и вычислим \( E2^{(1)} \). Второй порядок энергии определяется как: \[ E{m \neq n} \frac{|\langle \psin^{(0)} \rangle|^2}{Em^{(0)}} \] Здесь мы суммируем по всем состояниям \( m \), отличным от \( n \). Собственные уровни энергии до второго порядка будут определяться как: \[ En^{(0)} + En^{(2)} \] Таким образом, мы получим уровни энергии для двухуровневой системы с учетом первых двух порядков теории возмущений.