Главная
Библиотека
Физика
Рассмотрите задачу о двумерном осцилляторе: U = mω²ρ²/2, где ρ² = x² + y². Задачу можно решать как в декартовых, так и в п...

Рассмотрите задачу о двумерном осцилляторе: U = mω²ρ²/2, где ρ² = x² + y². Задачу можно решать как в декартовых, так и в полярных координатах. а) Получите спектр осциллятора и найдите кратности вырождения уровней. б) Найдите среднее значение квадрата

«Рассмотрите задачу о двумерном осцилляторе: U = mω²ρ²/2, где ρ² = x² + y². Задачу можно решать как в декартовых, так и в полярных координатах. а) Получите спектр осциллятора и найдите кратности вырождения уровней. б) Найдите среднее значение квадрата»

6 ноября 2025
Физика

Условие:

реши задачу: Рассмотрите задачу о двумерном осцилляторе: U = mω2ρ
2/2, где ρ
2 = x
2 + y
2
. Задачу можно решать как в декартовых,

так и в полярных координатах — на ваше усмотрение.
а) (2 балла) Получите спектр осциллятора и найдите кратности вырождения уровней.
б) (1 балл) Найдите среднее значение квадрата радиуса в стационарном состоянии ⟨ρ
2
⟩n.

в) (2 балла) Найдите в первом порядке теории возмущений поправки к первому возбуждённому уровню за счёт возму-
щения V = αxy.

г) (1 балл) Для возмущения из пункта в) найдите правильные волновые функции нулевого приближения.

Решение:

Ниже приведён подробный пошаговый разбор задачи. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Пункт (а). Спектр двумерного осциллятора и кратности уровней Задача имеет потенциал U = (mω²ρ²)/2, где ρ² = x² + y². Можно заметить, что оператор Гамильтона в декартовых координатах разделяется на сумму двух одномерных осцилляторов: H = Hₓ + H_y, где Hₓ = (pₓ²/(2m)) + (mω²x²/2) и аналогично для H_y. Энергии одномерного осциллятора известны: Eₙ = ħω (n + 1/2), где n = 0, 1, 2, … Таким образом, энергия двумерного осциллятора в состоянии |nₓ, n_y⟩ равна E = ħω (nₓ + 1/2) +...