Шар диаметром D = 6,0 см и массой m = 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения ν = 4,0 об/с. Найти кинетическую энергию Ек шара. Подробное решение с пояснениями не по действиям

Для нахождения кинетической энергии шара, который катится без скольжения, необходимо учитывать как его поступательную, так...

Сначала найдем радиус шара $R$. Радиус можно вычислить из диаметра:

$$R = \frac{D}{2} = \frac{6,0 \, \text{см}}{2} = 3,0 \, \text{см} = 0,03 \, \text{м}$$

Частота вращения $\nu$ в об/с нужно преобразовать в угловую скорость $\omega$ в радианах в секунду. Угловая скорость связана с частотой вращения следующим образом:

$$\omega = 2\pi \nu$$

Подставим значение частоты:

$$\omega = 2\pi \cdot 4,0 \, \text{об/с} \approx 25,13 \, \text{рад/с}$$

Поскольку шар катится без скольжения, его поступательная скорость $v$ связана с угловой скоростью через радиус:

$$v = R \cdot \omega$$

Подставим известные значения:

$$v = 0,03 \, \text{м} \cdot 25,13 \, \text{рад/с} \approx 0,0754 \, \text{м/с}$$

Поступательная кинетическая энергия $E_{k, \text{пост}}$ шара рассчитывается по формуле:

$$E_{k, \text{пост}} = \frac{1}{2} m v^2$$

Подставим массу и скорость:

$$E_{k, \text{пост}} = \frac{1}{2} \cdot 0,25 \, \text{кг} \cdot (0,0754 \, \text{м/с})^2 \approx 0,0005 \, \text{Дж}$$

Вращательная кинетическая энергия $E_{k, \text{врат}}$ шара рассчитывается по формуле:

$$E_{k, \text{врат}} = \frac{1}{2} I \omega^2$$

Для шара момент инерции $I$ можно вычислить по формуле:

$$I = \frac{2}{5} m R^2$$

Подставим массу и радиус:

$$I = \frac{2}{5} \cdot 0,25 \, \text{кг} \cdot (0,03 \, \text{м})^2 \approx 0,00015 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$$

Теперь подставим момент инерции в формулу для вращательной кинетической энергии:

$$E_{k, \text{врат}} = \frac{1}{2} \cdot 0,00015 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (25,13 \, \text{рад/с})^2 \approx 0,047 \, \text{Дж}$$

Теперь мы можем найти общую кинетическую энергию $E_k$ шара, сложив поступательную и вращательную кинетические энергии:

$$E{k, \text{пост}} + E_{k, \text{врат}} \approx 0,0005 \, \text{Дж} + 0,047 \, \text{Дж} \approx 0,0475 \, \text{Дж}$$

Таким образом, кинетическая энергия шара составляет примерно $0,0475 \, \text{Дж}$.