Для решения задачи, давайте разобьем её на несколько шагов.
Шаг 1: Опреде...
- Масса шарика \( m = 100 \, \text{г} = 0.1 \, \text{кг} \)
- Длина нити (начальное расстояние от оси вращения) \( r_1 = 1 \, \text{м} \)
- Начальная угловая скорость \( \omega_1 = 1 \, \text{об/с} = 2\pi \, \text{рад/с} \)
Угловой момент \( L \) системы сохраняется, если на неё не действуют внешние моменты. Угловой момент можно выразить как:
\[
L = m \cdot r^2 \cdot \omega
\]
где \( r \) — расстояние от оси вращения до шарика, а \( \omega \) — угловая скорость.
Сначала находим угловой момент в начальном состоянии:
\[
L1^2 \cdot \omega_1 = 0.1 \cdot (1)^2 \cdot (2\pi) = 0.1 \cdot 1 \cdot 2\pi = 0.2\pi \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}
\]
Теперь, когда нить укорачивается до \( r_2 = 0.5 \, \text{м} \), угловой момент будет равен:
\[
L2^2 \cdot \omega_2
\]
Согласно закону сохранения углового момента:
\[
L2
\]
Подставляем значения:
\[
0.2\pi = 0.1 \cdot (0.5)^2 \cdot \omega_2
\]
\[
0.2\pi = 0.1 \cdot 0.25 \cdot \omega_2
\]
\[
0.2\pi = 0.025 \cdot \omega_2
\]
Теперь решим уравнение для \( \omega_2 \):
\[
\omega_2 = \frac{0.2\pi}{0.025} = 8\pi \, \text{рад/с}
\]
Работа \( A \), совершаемая внешней силой, равна изменению кинетической энергии системы. Кинетическая энергия \( K \) шарика определяется как:
\[
K = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2
\]
Сначала находим начальную кинетическую энергию \( K_1 \):
\[
K_1 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot (2\pi)^2 \cdot (1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot 4\pi^2 = 0.2\pi^2 \, \text{Дж}
\]
Теперь находим конечную кинетическую энергию \( K_2 \):
\[
K_2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot (8\pi)^2 \cdot (0.5)^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot 64\pi^2 \cdot 0.25 = 0.8\pi^2 \, \text{Дж}
\]
Теперь находим работу, совершенную внешней силой:
\[
A = K1 = 0.8\pi^2 - 0.2\pi^2 = 0.6\pi^2 \, \text{Дж}
\]
1. Угловая скорость шарика при расстоянии 0.5 м: \( \omega_2 = 8\pi \, \text{рад/с} \).
2. Работа, совершенная внешней силой: \( A = 0.6\pi^2 \, \text{Дж} \).
