Сплошной шар из диэлектрика радиусом R=5 см заряжен равномерно с объёмной плотностью r=5 нКл/м3. Определите энергию электростатического поля, заключённую в окружающем шар пространстве

Чтобы определить энергию электростатического поля, заключённую в окружающем пространстве вокруг заряженного диэлектрического шара...

Объем шара можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \] где \( R = 0.05 \) м (5 см). Подставим значение радиуса: \[ V = \frac{4}{3} \pi (0.05)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.000125) \approx 0.0005236 \, \text{м}^3 \] Теперь, зная объем и объемную плотность заряда \( \rho = 5 \, \text{нКл/м}^3 = 5 \times 10^{-9} \, \text{Кл/м}^3 \), можем найти общий заряд \( Q \): \[ Q = \rho \cdot V = 5 \times 10^{-9} \, \text{Кл/м}^3 \cdot 0.0005236 \, \text{м}^3 \approx 2.618 \times 10^{-12} \, \text{Кл} \] Для сплошного шара с равномерным распределением заряда электрическое поле вне шара (на расстоянии \( r R \)) определяется по формуле: \[ E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} \] где \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная, примерно равная \( 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \). Энергия электростатического поля \( U \) в пространстве вне шара может быть найдена по формуле: \[ U = \frac{1}{2} \int E^2 \, dV \] где \( dV \) — элемент объема, который в сферических координатах равен \( dV = 4\pi r^2 \, dr \). Подставим выражение для электрического поля: \[ U = \frac{1}{2} \int0} \cdot \frac{Q}{r^2} \right)^2 4\pi r^2 \, dr \] Упрощаем: \[ U = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{(4 \pi \varepsilon{R}^{\infty} \frac{1}{r^4} 4\pi r^2 \, dr \] \[ = \frac{Q^2}{2(4 \pi \varepsilon{R}^{\infty} \frac{1}{r^2} \, dr \] Интеграл \( \int_{R}^{\infty} \frac{1}{r^2} \, dr \) равен: \[ \left[ -\frac{1}{r} \right]_{R}^{\infty} = 0 + \frac{1}{R} = \frac{1}{0.05} = 20 \] Теперь подставим все значения в формулу для энергии: \[ U = \frac{Q^2}{2(4 \pi \varepsilon_0)^2} \cdot 20 \] Сначала найдем \( Q^2 \): \[ Q^2 \approx (2.618 \times 10^{-12})^2 \approx 6.86 \times 10^{-24} \, \text{Кл}^2 \] Теперь подставим в формулу: \[ U = \frac{6.86 \times 10^{-24}}{2(4 \pi (8.85 \times 10^{-12})^2)} \cdot 20 \] Вычислим знаменатель: \[ (4 \pi (8.85 \times 10^{-12})^2) \approx 3.93 \times 10^{-21} \] Теперь подставим: \[ U \approx \frac{6.86 \times 10^{-24} \cdot 20}{2 \cdot 3.93 \times 10^{-21}} \approx \frac{137.2 \times 10^{-24}}{7.86 \times 10^{-21}} \approx 1.743 \times 10^{-3} \, \text{Дж} \] Энергия электростатического поля, заключённая в окружающем шар пространстве, составляет примерно \( 1.743 \, \text{мДж} \).