Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд -q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние x, если x >> R. Сделать

Для решения задачи о нахождении модуля вектора напряженности электрического поля на оси кольца, давайте следовать пошагово.

Шаг 1: Пони...

У нас есть точечный заряд \( q \), расположенный в центре тонкого кольца радиуса \( R \). На кольце равномерно распределен заряд \( -q \). Мы хотим найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии \( x \) от его центра, при условии что \( x \gg R \). 1. : Каждый элемент заряда \( dQ \) на кольце создает электрическое поле в точке на оси. Направление этого поля будет от кольца к зарядному центру, так как заряд на кольце отрицательный. 2. : Из-за симметрии кольца, горизонтальные компоненты электрического поля от каждого элемента заряда \( dQ \) будут взаимно уничтожаться, и останется только вертикальная компонента. Электрическое поле \( dE \) от элемента заряда \( dQ \) на расстоянии \( r \) от него до точки на оси кольца можно выразить как: \[ dE = \frac{k \cdot |dQ|}{r^2} \] где \( k \) — электрическая постоянная. Для точки на оси кольца, расстояние \( r \) от элемента заряда до точки на оси можно выразить как: \[ r = \sqrt{R^2 + x^2} \] Электрическое поле \( dE \) можно разложить на компоненты. Вертикальная компонента \( dE_y \) будет равна: \[ dE_y = dE \cdot \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} \] Теперь мы можем интегрировать по всему кольцу. Полный заряд на кольце \( Q = -q \) и \( dQ = \frac{-q}{2\pi R} d\phi \), где \( d\phi \) — элемент угла. Полное электрическое поле на оси будет: \[ Ey = \int \frac{k \cdot |dQ|}{R^2 + x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} = \frac{k \cdot (-q)}{R^2 + x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} \cdot \int d\phi \] При условии \( x \gg R \), \( R^2 + x^2 \approx x^2 \). Таким образом, мы можем упростить выражение: \[ E_y \approx \frac{k \cdot (-q)}{x^2} \cdot \frac{x}{x} \cdot 2\pi R = \frac{-2\pi k q R}{x^3} \] Модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстоянии \( x \), равен: \[ |E| = \frac{2\pi k q R}{x^3} \] На рисунке можно изобразить: - Кольцо с зарядом \( -q \). - Точечный заряд \( q \) в центре кольца. - Ось, проходящая через центр кольца и перпендикулярная к плоскости кольца. - Точку на оси на расстоянии \( x \) от центра кольца. - Векторы электрического поля от элементов кольца, направленные к центру кольца. Таким образом, мы получили искомый результат.