Точка движется вдоль оси x по закону: x(t) = 10 sin²(π/3 * t - π/4). Требуется: Найти период колебаний. Найти скорость v(t) и ускорение a(t) точки как функции времени t. Схематически изобразить графики x(t) и v(t).

Для решения задачи, давайте разберем каждую часть по порядк...

Функция \( x(t) = 10 \sin^2\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \) представляет собой квадрат синуса. Чтобы найти период колебаний, сначала найдем период функции \( \sin\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \). Период функции \( \sin(k t) \) равен \( \frac{2\pi}{k} \). В нашем случае \( k = \frac{\pi}{3} \), следовательно: \[ T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot 3 = 6. \] Так как функция \( \sin^2 \) имеет период, равный половине периода синуса, то период колебаний \( x(t) \) будет: \[ T_x = \frac{T}{2} = \frac{6}{2} = 3. \] Сначала найдем скорость \( v(t) \), которая является производной функции \( x(t) \) по времени \( t \): \[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt}. \] Используем правило цепочки: \[ v(t) = \frac{d}{dt}\left(10 \sin^2\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right)\right) = 10 \cdot 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right). \] Производная \( \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{3} \). Таким образом: \[ v(t) = 10 \cdot 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{3}. \] Упрощаем: \[ v(t) = \frac{20\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right). \] Используя формулу \( \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \), получаем: \[ v(t) = \frac{10\pi}{3} \sin\left(2\left(\frac{\pi}{3} t - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{10\pi}{3} \sin\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right). \] Теперь найдем ускорение \( a(t) \), которое является производной скорости \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt}. \] Используем производную синуса: \[ a(t) = \frac{10\pi}{3} \cdot \frac{d}{dt}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{10\pi}{3} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right) \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right). \] Производная \( \frac{d}{dt}\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} \). Таким образом: \[ a(t) = \frac{10\pi}{3} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right) \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{20\pi^2}{9} \cos\left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right). \] Графики функций \( x(t) \) и \( v(t) \) можно построить с помощью программного обеспечения для построения графиков, например, Python с библиотекой Matplotlib или любой другой графический калькулятор. 1. Для \( x(t) \) график будет колебательным с периодом 3. 2. Для \( v(t) \) график также будет колебательным, но с периодом 1.5 (половина периода \( x(t) \)). Таким образом, мы нашли период колебаний, скорость и ускорение точки, а также описали, как можно построить графики.