Условие:
41. Тонкий стержень длиной l = 40 cм заряжен с постоянной линейной плотностью t = 1,5 мкКл/м. Найти величину и направление вектора E напряжённости электрического поля, создаваемого стержнем, в точке, расположенной на перпендикуляре, восстановленном из конца стержня, и отстоящей от него на расстоянии l /2.
Решение:
Для решения задачи о нахождении напряженности электрического поля, создаваемого тонким заряженным стержнем, будем следовать следующим ...
- Длина стержня \( l = 40 \, \text{см} = 0.4 \, \text{м} \) - Линейная плотность заряда \( \lambda = 1.5 \, \mu\text{Кл/м} = 1.5 \times 10^{-6} \, \text{Кл/м} \) - Расстояние от конца стержня до точки, где мы хотим найти напряженность поля \( r = \frac{l}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \, \text{м} \) Для тонкого заряженного стержня, создающего электрическое поле в точке, расположенной на перпендикуляре к его концу, напряженность электрического поля \( E \) можно найти по формуле: \[ E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\lambda \, dx}{r^2 + x^2} \] где: - \( \varepsilon0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \)) - \( x \) — переменная, представляющая положение элемента стержня. Мы будем интегрировать от \( x = 0 \) до \( x = l \): - \( r = 0.2 \, \text{м} \) - \( dx \) — элементарный элемент длины стержня. Подставим значения в формулу: \[ E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon0^l \frac{dx}{r^2 + x^2} \] Подставим известные значения: \[ E = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{4 \pi (8.85 \times 10^{-12})} \int_0^{0.4} \frac{dx}{(0.2)^2 + x^2} \] Интеграл имеет вид: \[ \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \] где \( a = 0.2 \). Подставим пределы интегрирования: \[ \int_0^{0.4} \frac{dx}{(0.2)^2 + x^2} = \frac{1}{0.2} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{0.4}{0.2}\right) - \tan^{-1}(0) \right] \] \[ = \frac{1}{0.2} \left[ \tan^{-1}(2) - 0 \right] = \frac{1}{0.2} \tan^{-1}(2) \] Теперь подставим это значение обратно в формулу для \( E \): \[ E = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{4 \pi (8.85 \times 10^{-12})} \cdot \frac{1}{0.2} \tan^{-1}(2) \] Теперь вычислим численно: 1. \( \tan^{-1}(2) \approx 1.107 \, \text{рад} \) 2. Подставим в формулу: \[ E \approx \frac{1.5 \times 10^{-6}}{4 \pi (8.85 \times 10^{-12})} \cdot \frac{1.107}{0.2} \] Вычисляем: \[ E \approx \frac{1.5 \times 10^{-6}}{1.112 \times 10^{-10}} \cdot 5.535 \approx 0.067 \, \text{Н/Кл} \] Направление вектора \( E \) будет направлено от стержня, так как стержень положительно заряжен. Величина напряженности электрического поля \( E \approx 0.067 \, \text{Н/Кл} \), направление — от стержня.