Условие:
Три одинаковых заряда Q=1 нКл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Qi нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притя-жение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это равновесие устойчивым?
Решение:
Для решения данной задачи начнем с анализа сил, действующих на заряды, и условий рав...
Рассмотрим три одинаковых положительных заряда \( Q = 1 \, \text{нКл} \), расположенные в вершинах равностороннего треугольника. Сила отталкивания между любыми двумя зарядами \( Q \) можно вычислить по закону Кулона: \[ F = k \frac{Q2}{r^2} \] где: - \( k \) — электрическая постоянная (\( k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н м}^2/\text{Кл}^2 \)), - \( r \) — расстояние между зарядами. Пусть длина стороны треугольника равна \( a \). Тогда сила отталкивания между любыми двумя зарядами будет: \[ F = k \frac{Q^2}{a^2} \] Теперь введем отрицательный заряд \( Q_i \), который мы хотим поместить в центр треугольника. Сила притяжения этого заряда к каждому из положительных зарядов также будет вычисляться по закону Кулона: \[ Fi| Q}{r_i^2} \] где \( r_i \) — расстояние от центра треугольника до вершины (положительного заряда). Для равностороннего треугольника это расстояние равно: \[ r_i = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Тогда сила притяжения будет: \[ Fi| Q}{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2} = k \frac{|Q_i| Q \cdot 3}{a^2} \] Для того чтобы силы притяжения уравновесили силы отталкивания, необходимо, чтобы: \[ F_i = 3F \] Подставим выражения для сил: \[ k \frac{|Q_i| Q \cdot 3}{a^2} = 3 \cdot k \frac{Q^2}{a^2} \] Сократим \( k \) и \( a^2 \): \[ |Q_i| Q \cdot 3 = 3 Q^2 \] Сократим на 3: \[ |Q_i| Q = Q^2 \] Теперь выразим \( |Q_i| \): \[ |Q_i| = Q \] Подставим значение заряда \( Q = 1 \, \text{нКл} \): \[ |Q_i| = 1 \, \text{нКл} \] Таким образом, отрицательный заряд, который нужно поместить в центр треугольника, равен: \[ Q_i = -1 \, \text{нКл} \] Теперь проверим устойчивость равновесия. Если мы поместим отрицательный заряд в центр, то при малом смещении этого заряда в любом направлении, силы отталкивания от положительных зарядов будут увеличиваться, а сила притяжения уменьшаться. Это приведет к тому, что заряд будет двигаться дальше от центра, что указывает на неустойчивое равновесие. Таким образом, отрицательный заряд, который нужно поместить в центре треугольника, равен \( Q_i = -1 \, \text{нКл} \). Равновесие будет неустойчивым.