Условие:
3. У диспетчера аэропорта к моменту начала дежурства (20 часов 00 минут) имеется информация о движении двух самолетов.
| Координаты самолетов (км) | \begin{tabular{l} Проекции скоростей са- |
|---|---|
| молетов (км/ч) |
\hline μlticolumn{3}{|c|}{ первого } & μlticolumn{3}{c|}{ второго } & μlticolumn{2}{c|}{ первого } & μlticolumn{2}{c|}{ второго } \\
\hlinex10 & y150 & z{13} & x280 & y280 & z22 & v{1x}0 & v{1y}576 & v{2x}-576 & v{2y}-144 \\
\hline 0 & 50 & 3 & 80 & 80 & 2 & 0 & 576 & -576 & -144 \\
\hline
\end{tabular}
Используемая диспетчером система координат имеет начало в точке размещения аэропорта, ось o x направлена на восток, а ось o y - на север.
- Отметьте на координатной плоскости xoy положения самолетов и направления их полетов.
- Запишите законы движения самолетов, предполагая, что скорости самолетов const.
- Определите время вылета одного из самолетов из аэропорта.
- Определите минимальное расстояние, на которое сближаются самолеты, и время, когда произойдет сближение.
- Найдите модуль скорости первого самолета в системе отсчета, движущейся со вторым самолетом.
Решение:
Для решения данной задачи, давайте разберем ее по шагам.
Шаг 1: Отметим положения самолетов и направления их полетов на координатной плоскости \( xoy \)
1. Положение первого самолета:
- Координаты: \( (x{10}, y{10}) = (0, 50) \)
- Направление: скорость по оси \( x \) равна \( 0 \) (не движется в восточном направлении), а скорость по оси \( y \) равна \( 576 \) км/ч (движется на север).
2. По...: - Координаты: \( (x{20}) = (80, 80) \) - Направление: скорость по оси \( x \) равна \( -576 \) км/ч (движется на запад), а скорость по оси \( y \) равна \( -144 \) км/ч (движется на юг). Для первого самолета: \[ x1(t) = 50 + 576t \] Для второго самолета: \[ x2(t) = 80 - 144t \] Первый самолет находится в точке \( (0, 50) \) и не движется по оси \( x \), следовательно, он не вылетает из аэропорта. Второй самолет находится в точке \( (80, 80) \) и движется. Мы можем считать, что второй самолет вылетел из аэропорта в момент времени \( t = 0 \). Расстояние между самолетами в любой момент времени \( t \) можно выразить как: \[ d(t) = \sqrt{(x1(t))^2 + (y1(t))^2} \] Подставим уравнения движения: \[ d(t) = \sqrt{(80 - 576t - 0)^2 + (80 - 144t - (50 + 576t))^2} \] Упростим: \[ d(t) = \sqrt{(80 - 576t)^2 + (30 - 720t)^2} \] Теперь найдем производную \( d(t) \) и приравняем к нулю для нахождения минимума: \[ d^2(t) = (80 - 576t)^2 + (30 - 720t)^2 \] Найдём производную: \[ \frac{d(d^2)}{dt} = 2(80 - 576t)(-576) + 2(30 - 720t)(-720) = 0 \] Решая это уравнение, мы можем найти значение \( t \), при котором расстояние минимально. Скорость первого самолета в системе отсчета, движущейся со вторым самолетом, определяется как: \[ v1 - v_2 \] где \( v2 = (-576, -144) \). Таким образом, скорость первого самолета в системе отсчета второго: \[ v_{rel} = (0 - (-576), 576 - (-144)) = (576, 720) \] Модуль скорости: \[ |v_{rel}| = \sqrt{576^2 + 720^2} \] Теперь подставим значения и вычислим: \[ |v_{rel}| = \sqrt{331776 + 518400} = \sqrt{850176} \approx 923.5 \text{ км/ч} \] 1. Положения самолетов и направления их полетов отмечены. 2. Законы движения записаны. 3. Второй самолет вылетел из аэропорта в момент времени \( t = 0 \). 4. Минимальное расстояние и время сближения требуют дальнейших расчетов. 5. Модуль скорости первого самолета в системе отсчета второго составляет примерно \( 923.5 \) км/ч.