В 3-х вершинах квадрата со стороной 1 м находятся одинаковые заряды 10−8 Кл. Найти напряженность и потенциал в 4-й вершине. Найти потенциальную энергию системы.

Для решения задачи начнем с определения напряженности электрического поля и потенциала в 4-й вершине квадрата, а затем найдем потенциальную энергию системы.

Шаг 1: Определение координат вершин ква...

Обозначим вершины квадрата как A, B, C и D. Пусть:

• A (0, 0)
• B (1, 0)
• C (1, 1)
• D (0, 1)

Заряды находятся в вершинах A, B и C, а нам нужно найти напряженность и потенциал в вершине D.

Напряженность электрического поля $\vec{E}$ от точечного заряда $q$ на расстоянии $r$ определяется формулой:

$$E = \frac{k \cdot |q|}{r^2}$$

где $k$ — электрическая постоянная, $k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{Н м}^2/\text{Кл}^2$.

Расстояние от A до D равно 1 м. Напряженность от заряда в A в точке D:

$$E_A = \frac{k \cdot |q|}{1^2} = k \cdot 10^{-8}$$

Направление поля от A к D (вверх по оси Y):

\vec{EA) = (0, k \cdot 10^{-8})

Расстояние от B до D также равно 1 м. Напряженность от заряда в B в точке D:

$$E_B = \frac{k \cdot |q|}{1^2} = k \cdot 10^{-8}$$

Направление поля от B к D (влево по оси X):

\vec{EB, 0) = (-k \cdot 10^{-8}, 0)

Расстояние от C до D равно 1 м. Напряженность от заряда в C в точке D:

$$E_C = \frac{k \cdot |q|}{1^2} = k \cdot 10^{-8}$$

Направление поля от C к D (вниз по оси Y):

\vec{EC) = (0, -k \cdot 10^{-8})

Теперь найдем суммарную напряженность в точке D, сложив все векторы:

$$\vec{E} = \vec{EB} + \vec{E_C}$$

Подставим значения:

$$\vec{E} = (0, k \cdot 10^{-8}) + (-k \cdot 10^{-8}, 0) + (0, -k \cdot 10^{-8})$$

Сложим компоненты:

• По оси X: $-k \cdot 10^{-8}$
• По оси Y: $k \cdot 10^{-8} - k \cdot 10^{-8} = 0$

Таким образом, суммарная напряженность:

$$\vec{E} = (-k \cdot 10^{-8}, 0)$$

Потенциал $V$ в точке D от точечного заряда $q$ на расстоянии $r$ определяется формулой:

$$V = \frac{k \cdot q}{r}$$

$$V_A = \frac{k \cdot 10^{-8}}{1} = k \cdot 10^{-8}$$

$$V_B = \frac{k \cdot 10^{-8}}{1} = k \cdot 10^{-8}$$

$$V_C = \frac{k \cdot 10^{-8}}{1} = k \cdot 10^{-8}$$

Суммарный потенциал:

$$V = VB + V_C = k \cdot 10^{-8} + k \cdot 10^{-8} + k \cdot 10^{-8} = 3k \cdot 10^{-8}$$

Потенциальная энергия $U$ системы из трех зарядов определяется как сумма потенциальных энергий пар зарядов:

$$U = k \cdot \left( \frac{q2}{r1 q{13}} + \frac{q3}{r_{23}} \right)$$

Где:

• $r_{12} = 1$ м (A и B)
• $r_{13} = 1$ м (A и C)
• $r_{23} = \sqrt{2}$ м (B и C)

Подставим значения:

$$U = k \cdot \left( \frac{(10^{-8})(10^{-8})}{1} + \frac{(10^{-8})(10^{-8})}{1} + \frac{(10^{-8})(10^{-8})}{\sqrt{2}} \right)$$

$$U = k \cdot \left( 2 \cdot 10^{-16} + \frac{10^{-16}}{\sqrt{2}} \right)$$

$$U = k \cdot 10^{-16} \left( 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

Теперь подставим значение $k$:

$$U \approx 8.99 \times 10^9 \cdot 10^{-16} \left( 2 + 0.707 \right) \approx 8.99 \times 10^{-7} \cdot 2.707 \approx 2.43 \times 10^{-6} \text{ Дж}$$

1. Напряженность в 4-й вершине (D): $\vec{E} = (-k \cdot 10^{-8}, 0)$
2. Потенциал в 4-й вершине (D): $V = 3k \cdot 10^{-8}$
3. Потенциальная энергия системы: $U \approx 2.43 \times 10^{-6} \text{ Дж}$